Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A（0，8），點B（m，0），且m＞0．把△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ACD，點O，B旋轉(zhuǎn)后的對應點為C，D．
（1）點C的坐標為（8，8）；
（2）①設△BCD的面積為S，用含m的式子表示S，并寫出m的取值范圍；
②當S=6時，求點B的坐標（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC=AO=8，∠OAC=90°，得出C（8，8）即可；
（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，得出∠ACE=90°，證出四邊形OACE是矩形，得出DE⊥x主，OE=AC=8，分三種情況：
a、當點B在線段OE的延長線上時，得出BE=OB-OE=m-8，由三角形的面積公式得出S=$\frac{1}{2}$m²-4m（m＞8）即可；
b、當點B在線段OE上（點B不與O，E重合）時，BE=OE-OB=8-m，由三角形的面積公式得出S=-$\frac{1}{2}$m²+4m（0＜m＜8）即可；
c、當點B與E重合時，即m=8，△BCD不存在；
②當S=6，m＞8時，得出$\frac{1}{2}$m²-4m=6，解方程求出m即可；
當S=6，0＜m＜8時，得出-$\frac{1}{2}$m²+4m=6，解方程求出m即可．

解答 解：（1）∵點A（0，8），
∴AO=8，
∵△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ACD，
∴AC=AO=8，∠OAC=90°，
∴C（8，8），
故答案為：（8，8）；
（2）①延長DC交x軸于點E，
∵點B（m，0），
∴OB=m，
∵△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ACD，
∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∴四邊形OACE是矩形，
∴DE⊥x主，OE=AC=8，
分三種情況：
a、當點B在線段OE的延長線上時，如圖1所示：
則BE=OB-OE=m-8，
∴S=$\frac{1}{2}$DC•BE=$\frac{1}{2}$m（m-8），
即S=$\frac{1}{2}$m²-4m（m＞8）；
b、當點B在線段OE上（點B不與O，E重合）時，如圖2所示：
則BE=OE-OB=8-m，
∴S=$\frac{1}{2}$DC•BE=$\frac{1}{2}$m（8-m），
即S=-$\frac{1}{2}$m²+4m（0＜m＜8）；
c、當點B與E重合時，即m=8，△BCD不存在；
綜上所述，S=$\frac{1}{2}$m²-4m（m＞8），或S=-$\frac{1}{2}$m²+4m（0＜m＜8）；
②當S=6，m＞8時，$\frac{1}{2}$m²-4m=6，
解得：m=4±2$\sqrt{7}$（負值舍去），
∴m=4+2$\sqrt{7}$；
當S=6，0＜m＜8時，-$\frac{1}{2}$m²+4m=6，
解得：m=2或m=6，
∴點B的坐標為（4+2$\sqrt{7}$，0）或（2，0）或（6，0）．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了坐標與圖形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形面積公式、一元二次方程的解法等知識；本題綜合性強，有一定難度．