Question

10．如圖，在△CDE中，DE=3$\sqrt{2}$，∠D=45°，∠E=75°，點(diǎn)B在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，BC=2，點(diǎn)A在射線(xiàn)DC的上方，AB⊥DC，垂足為B，且AB=2，現(xiàn)以AB為直徑作半圓O．

發(fā)現(xiàn)：△CDE的邊DC=3+$\sqrt{3}$，點(diǎn)C到半圓O上的點(diǎn)的最小距離為$\sqrt{5}$-1．最大距離為2$\sqrt{2}$．
將半圓O沿射線(xiàn)DC反方向平移，設(shè)平移距離為x．
思考：（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，求半圓O與△CDE重疊部分的面積；
（2）當(dāng)直徑AB完全落在△CDE內(nèi)部（含端點(diǎn)在邊界）時(shí)，x的取值范圍是2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤x≤3+$\sqrt{3}$．
探究：當(dāng)弧$\widehat{AB}$與△CDE的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 發(fā)現(xiàn)：如圖1中，作EH⊥CD于H．分別求出DH、CH即可．接CO交半圓于M、連接AC．則點(diǎn)C到半圓O上的點(diǎn)的最小距離為CM=OC-OM=$\sqrt{5}$-1，點(diǎn)C到半圓O上的點(diǎn)的最大距離為AC=2$\sqrt{2}$；
思考：（1）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，半圓O與△CDE重疊部分的面積=S_扇形OMC-S_△OMC．
（2）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)A在線(xiàn)段CE上時(shí)，設(shè)BC=a，求出此時(shí)的x．如圖4中，當(dāng)點(diǎn)A在線(xiàn)段DE上時(shí)，求出此時(shí)x即可．
探究：求出⊙O與CE、DE相切時(shí)的x的值，結(jié)合（2）中結(jié)果，即可解決問(wèn)題．

解答 解：發(fā)現(xiàn)：如圖1中，作EH⊥CD于H．

在Rt△DEH中，∵DE=3$\sqrt{2}$，∠D=45°，
∴∠D=∠DEH=45°，
∴EH=DH=3，
∵∠E=75°，
∴∠CEH=30°，
∴CH=$\sqrt{3}$，EC=2$\sqrt{3}$，
∴CD=3+$\sqrt{3}$．
連接CO交半圓于M、連接AC．則點(diǎn)C到半圓O上的點(diǎn)的最小距離為CM=OC-OM=$\sqrt{5}$-1，點(diǎn)C到半圓O上的點(diǎn)的最大距離為AC=2$\sqrt{2}$．
故答案為3+$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$-1，2$\sqrt{2}$．

思考：（1）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，半圓O與△CDE重疊部分的面積=S_扇形OMC-S_△OMC．

∵AC∥EH，
∴∠ACM=∠CEH=30°，
∵OM=OC，
∴∠OMC=∠OCM=30°，
∴∠COM=120°，
∴半圓O與△CDE重疊部分的面積=S_扇形OMC-S_△OMC=$\frac{120•π•{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$$•\sqrt{3}$$•\frac{1}{2}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

（2）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)A在線(xiàn)段CE上時(shí)，設(shè)BC=a

∵AB∥EH，
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{BC}{CH}$，
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{a}{\sqrt{3}}$
∴a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．此時(shí)x=2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
如圖4中，當(dāng)點(diǎn)A在線(xiàn)段DE上時(shí)，易知AB=BD=2，BH=1，此時(shí)x=3+$\sqrt{3}$

∴當(dāng)直徑AB完全落在△CDE內(nèi)部（含端點(diǎn)在邊界）時(shí)，x的取值范圍是2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤x≤3+$\sqrt{3}$．

探究：當(dāng)⊙O與DE相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為N，連接ON、OD，在DB上取一點(diǎn)M，使得DM=OM．

則易知∠ODN=∠ODM=22.5°，∠OMB=45°，
∴OM=DM=$\sqrt{2}$，BM=1，
∴BC=3+$\sqrt{3}$-（$\sqrt{2}$+1）=2+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
此時(shí)x=4+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
如圖6中，當(dāng)⊙O與CE相切于點(diǎn)N時(shí)，易知∠OCB=∠OCN=60°，BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此時(shí)x=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

綜上所述，當(dāng)弧$\widehat{AB}$與△CDE的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x≤2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或x=4+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$或3+$\sqrt{3}$＜x＜5+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)．30度的直角三角形的性質(zhì)、切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、勾股定理平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．