Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，邊長為4的等邊△ABC的頂點(diǎn)B與原點(diǎn)重合，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的△ACA₁，將四邊形ABCA₁看作一個(gè)基本圖形，將此基本圖形不斷復(fù)制并平移，則A₂₀₁₇的坐標(biāo)為（8070，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易得OA=BC=4，∠AOC=60°．過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，求出BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=2，AD=OA•sin∠AOD=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，那么A（2，2$\sqrt{3}$）．再利用旋轉(zhuǎn)與平移的性質(zhì)分別求出A₁（2+4，2$\sqrt{3}$），A₂（2+4×2，2$\sqrt{3}$），A₃（2+4×3，2$\sqrt{3}$），依此類推即可求出A₂₀₁₇的坐標(biāo)．

解答 解：∵邊長為4的等邊△ABC的頂點(diǎn)B與原點(diǎn)重合，
∴OA=BC=4，∠AOC=60°，
如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=2，AD=OA•sin∠AOD=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴A（2，2$\sqrt{3}$）．
∵將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的△ACA₁，
∴四邊形AOCA₁是平行四邊形，
∴AA₁=OC=4，AA₁∥OC，
∴A₁（2+4，2$\sqrt{3}$），即A₁（6，2$\sqrt{3}$）；
∵將四邊形ABCA₁看作一個(gè)基本圖形，將此基本圖形不斷復(fù)制并平移，
∴A₂（2+4×2，2$\sqrt{3}$），即A₂（10，2$\sqrt{3}$）；
A₃（2+4×3，2$\sqrt{3}$），即A₃（14，2$\sqrt{3}$）；
…
∴A₂₀₁₇的坐標(biāo)為（2+4×2017，2$\sqrt{3}$），即A₂₀₁₇（8070，2$\sqrt{3}$）；
故答案為（8070，2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)與平移的性質(zhì)，正確求出A₁，A₂，A₃的坐標(biāo)從而找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．