Question

4．如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，若∠EBC=32°，∠AEB=70°．
（1）求證：∠BAD：∠CAD=1：2；
（2）若點(diǎn)F為線段BC上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí)，求∠BEF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由角平分線得出∠ABC，得出∠BAD=26°，再求出∠C，得出∠CAD=52°，即可得出結(jié)論；
（2）分兩種情況：①當(dāng)∠EFC=90°時(shí)；②當(dāng)∠FEC=90°時(shí)；由角的互余關(guān)系和三角形的外角性質(zhì)即可求出∠BEF的度數(shù)．

解答 （1）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=64°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD=90°-64°=26°，
∵∠C=∠AEB-∠EBC=70°-32°=38°，
∴∠CAD=90°-38°=52°，
∴∠BAD：∠CAD=1：2；

（2）解：分兩種情況：
①當(dāng)∠EFC=90°時(shí)，如圖1所示：
則∠BFE=90°，
∴∠BEF=90°-∠EBC=90°-32°=58°；
②當(dāng)∠FEC=90°時(shí)，如圖2所示：
則∠EFC=90°-38°=52°，
∴∠BEF=∠EFC-∠EBC=52°-32°=20°；
綜上所述：∠BEF的度數(shù)為58°或20°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，角的互余關(guān)系；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．