Question

14．（1）如圖，AD∥BC，∠A=90°，∠DCB的角平分線CE與∠ADC的角平分線DE恰好相交于AB的點E，試猜想CD、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由
（2）在（1）中，若∠A≠90°，其他條件保持不變，你的猜想還成立嗎？請畫出草圖，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點E作EF⊥DC，由角平分線的性質(zhì)可知：AE=EF，然后證明Rt△ADE≌Rt△FDE，可知；AD=DF，同理可知BC=FC；
（2）在DC上取DF=AD，連接EF．首先證明△ADE≌△FDE，得到∠A=∠DFE，然后證明△BEC≌△FEC，從而可證得AD+BC=DC．

解答 解：（1）CD=AD+BC．
理由：如圖所示，過點E作EF⊥DC．

∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°．
∵EA⊥AD，EF⊥DC，DE平分∠ADC，
∴AE=EF．
在Rt△ADE和Rt△FDE中$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△FDE．
∴AD=FC．
同理：FC=BC．
∴AD+BC=DC．
（2）成立．
如圖所示，在DC上取DF=AD，連接EF．

證明：∵ED平分∠ADF，
∴∠ADE=∠FDE，
在△ADE和△FDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DF}\\{∠ADE=∠FDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FDE．
∴∠A=∠DFE．
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
又∵∠DFE+∠EFC=180°，
∴∠B=∠EFC．
在△BEC和△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠EFC}\\{∠FCE=∠BCE}\\{EC=EC}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△FEC．
∴FC=BC．
∴AD+BC=DC．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線定義等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確作輔助線．