Question

13．如圖1，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線y=-2x+4與x、y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、C、M的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線AC的垂線，垂足為Q，求線段PQ的最大值；
（3）在第（2）小問中，當(dāng)線段PQ的長度取得最大值時(shí)，將拋物線沿直線EF平移，平移后拋物線上點(diǎn)A、C、M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、C′、M′，在平移過程中，是否存在△A′C′P是直角三角形，若存在，求出點(diǎn)M′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0或y=0求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．
（2）如圖2中，過點(diǎn)P作PN∥y軸交AC于N，則PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PN，求出PN的最大值即可．
（3）假設(shè)M′（1+m，4-2m），A′（3+m，-2m），C′（m，3-2m），則有A′C′²=18，A′P²=（$\frac{3}{2}$+m）²+（2m+$\frac{15}{4}$）²，C′P²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（2m+$\frac{3}{4}$）²，
分三種情形，利用勾股定理列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）對(duì)于拋物線y=-x²+2x+3，
令x=0則y=3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，3），
令y=0則-x²+2x+3=0，解得x=-1或3，
∴B（-1，0），A（3，0），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)（1，4）．
∴A（3，0），C（0，3），M（1，4）．

（2）如圖2中，過點(diǎn)P作PN∥y軸交AC于N，則PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PN，

設(shè)P（a，-a²+2a+3），
∵直線AC解析式為y=-x+3，
∴N（a，-a+3），
∴PN=-a²+3a（0＜a＜3），
∵a=-1＜0，
∴當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，PN的最大值=$\frac{9}{4}$，此時(shí)PQ的最大值為$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．

（3）∵直線EF的解析式為y=-2x+4，
∴E（2，0），F(xiàn)（0，4），$\frac{OF}{OE}$=2，
∴直線EF上任意一點(diǎn)，橫坐標(biāo)每增大1個(gè)單位，縱坐標(biāo)則減小2個(gè)單位，
∴可以假設(shè)M′（1+m，4-2m），A′（3+m，-2m），C′（m，3-2m），
則有A′C′²=18，A′P²=（$\frac{3}{2}$+m）²+（2m+$\frac{15}{4}$）²，C′P²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（2m+$\frac{3}{4}$）²，
①當(dāng)∠C′A′P=90°時(shí)，∵A′C′²+A′P²=C′P²，
∴18+（$\frac{3}{2}$+m）²+（2m+$\frac{15}{4}$）²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（2m+$\frac{3}{4}$）²，
解得m=-$\frac{7}{4}$，
∴M′₁（-$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{2}$）．
②當(dāng)∠A′CP=90°時(shí)，∵A′C′²+C′P²=A′P²，
∴18+（m-$\frac{3}{2}$）²+（2m+$\frac{3}{4}$）²=（$\frac{3}{2}$+m）²+（2m+$\frac{15}{4}$）²，
解得m=$\frac{1}{4}$，
∴M′₂（$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{2}$）．
③當(dāng)∠A′PC′=90°時(shí)，∵A′P²+PC′²=A′C′²，
∴（$\frac{3}{2}$+m）²+（2m+$\frac{15}{4}$）²+（m-$\frac{3}{2}$）²+（2m+$\frac{3}{4}$）²=18，
解得m=$\frac{-18±3\sqrt{31}}{20}$，
∴M′₃（$\frac{2+3\sqrt{31}}{20}$，$\frac{58-3\sqrt{31}}{10}$），M′₄（$\frac{2-3\sqrt{31}}{20}$，$\frac{58+3\sqrt{31}}{10}$），
綜上所述，點(diǎn)M′的坐標(biāo)為M′₁（-$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{2}$）或M′₂（$\frac{5}{4}$，$\frac{7}{2}$）或M′₃（$\frac{2+3\sqrt{31}}{20}$，$\frac{58-3\sqrt{31}}{10}$）或M′₄（$\frac{2-3\sqrt{31}}{20}$，$\frac{58+3\sqrt{31}}{10}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、勾股定理、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)分類討論，注意不能漏解，屬于中考?jí)狠S題．