Question

4．已知，△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖1所示，A點坐標為（-6，0），B點的坐標為（4，0），點D為BC的中點，經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+8．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為直線AC上方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APC的面積最大？求出此時P點的坐標和△APC的最大面積；
（3）已知M、N分別是線段AC、AB上的兩個動點，點M由A以每秒1.2個單位向C出發(fā)，點N由B以每秒1個單位的速度向A運動，兩點同時出發(fā)，當一個點停止運動時另一個點也停止運動，連接MN、DM、DN，問是否存在t使得DM平分∠CMN的同時DN也平分∠MNB？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法直接求出拋物線解析式；
（2）先利用面積最大這一特點確定出點P的坐標，再用三角形的面積之和即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出∠MDN=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，進而得出∠MDN=∠ABC=∠ACB，利用三角形的內(nèi)角和即可得出∠CDM=∠DNM，進而判斷出△CDM∽△BND，得出比例式，最后代入即可確定出時間．

解答 解：（1）∵經(jīng)過點A（-6，0）、B（4，0）、C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+8=0}\\{16a+4b+8=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8．
（2）∵拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8②．
∴C（0，8），
∵A（-6，0），
∴直線AC解析式為y=$\frac{4}{3}$x+8，
∴作直線l，使l∥AC，設(shè)直線l解析式為y=$\frac{4}{3}$x+m①，
當直線l和拋物線只有一個交點時，△APC的面積最大，
聯(lián)立①②化簡得，x²+6x-（24-3m）=0，
∴△=36+4（24-3m）=0，
∴m=11，
∴x=-3，
∴P（-3，7），
如圖1，

過點P作PE⊥AE于E，
∴AE=3，PE=7，OE=3，OC=8，
∵直線AC解析式為y=$\frac{4}{3}$x+8，
∴F（-3，4），
∴PF=PE-EF=3，
∴S_{△APC的最大}=S_△APF+S_△CPF=$\frac{1}{2}$×PF×AE+$\frac{1}{2}$×PF×OE=$\frac{1}{2}$×PF×（AE+OE）=$\frac{1}{2}$×3×6=9．
即：P點的坐標為（-3，7），△APC的最大面積為9．
（3）如圖，

∵DM平分∠CMN，
∴∠DMN=∠DMC=$\frac{1}{2}$∠CMN
∵DN也平分∠MNB，
∴∠DNB=∠DNM=$\frac{1}{2}$∠BNM，
在△AMN中，180°-∠BAC+∠CMN+∠BNM=360°，（三角形的外角和為360°）
∴∠CMN+∠BNM=180°+∠BAC
在△DMN中，∠MDN=180°-（∠DMN+∠DNM）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠CMN+∠BNM）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠BAC）
=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵A（-6，0），B（4，0），C（0，8），
∴AC=10，AB=10，BC=4$\sqrt{5}$
∴AB=AC，
連接AD，
∵點D是BC中點，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，AD⊥BC
∴∠ABC=∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠MDN=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ABC=∠ACB=∠MDN，
∵∠DMN=∠DMC，
∴∠CDM=∠DNM，
∵∠DNB=∠DNM，
∴∠CDM=∠DNB，
∵∠ACB=∠ABC，
∴△CDM∽△BND，
∴$\frac{CD}{BN}=\frac{CM}{BD}$，
由運動知，BN=t，AM=1.2t，
∴CM=10-AM=10-1.2t，
∵點D是BC中點，且BC=4$\sqrt{5}$
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{t}=\frac{10-1.2t}{2\sqrt{5}}$，
∴3t²-25t+50=0．
∴t=5或t=$\frac{10}{3}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，函數(shù)的極值，三角形的面積計算方法，三角形相似的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，解本題的關(guān)鍵是∠ABC=∠ACB=∠MDN，得出△CDM∽△BND，是解本題的難點，是一道較好的中考�？碱}．