Question

9．如圖，已知直線l：y=-$\frac{1}{2}$x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x+1與y軸交于點(diǎn)C，設(shè)直線l與直線l₁的交點(diǎn)為E
（1）如圖1，若點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在（1）的前提下，D（a，0）為x軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，分別交直線l與直線l₁于點(diǎn)M、N，若以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求a的值；
（3）如圖2，設(shè)直線l與直線l₂：y=-$\frac{1}{3}$x-3的交點(diǎn)為F，問是否存在點(diǎn)B，使BE=BF，若存在，求出直線l的解析式，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)E的橫坐標(biāo)結(jié)合一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可找出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出直線l的解析式，令y=0求出x的值，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可找出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，從而得出線段MN的長(zhǎng)度，分別令直線l、l₁的解析式中x=0求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出關(guān)于a的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，聯(lián)立直線l、l₁的解析式成方程組，解方程組求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，聯(lián)立直線l、l₂的解析式成方程組，解方程組求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，結(jié)合BE=BF即可得出關(guān)于b的一元一次方程，解方程求出b值，此題得解．

解答 解：（1）∵點(diǎn)E在直線l₁上，且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），
∵點(diǎn)E在直線l上，
∴2=-$\frac{1}{2}$×2+b，解得：b=3，
∴直線l的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
當(dāng)y=0時(shí)，有-$\frac{1}{2}$x+3=0，
解得：x=6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）．
（2）依照題意畫出圖形，如圖3所示．
當(dāng)x=a時(shí)，y_M=3-$\frac{1}{2}$a，y_N=1+$\frac{1}{2}$a，
∴MN=|1+$\frac{1}{2}$a-（3-$\frac{1}{2}$a）|=|a-2|．
當(dāng)x=0時(shí)，y_B=3，y_C=1，
∴BC=3-1=2．
∵BC∥MN，
∴當(dāng)MN=BC=2時(shí)，以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
此時(shí)|a-2|=2，
解得：a=4或a=0（舍去）．
∴當(dāng)以點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，a的值為4．
（3）假設(shè)存在．
聯(lián)立直線l、l₁的解析式成方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=b-1}\\{y=\frac{b+1}{2}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（b-1，$\frac{b+1}{2}$）；
聯(lián)立直線l、l₂的解析式成方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=-\frac{1}{3}x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=18+6b}\\{y=-9-2b}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（18+6b，-9-2b）．
∵BE=BF，且E、F均在直線l上，
∴b-1=-18-6b，解得：b=-$\frac{17}{7}$，
此時(shí)直線l的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{17}{7}$．
故存在點(diǎn)B，使BE=BF，此時(shí)直線l的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{17}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)以及解一元一次方程，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．