Question

11．如果關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結(jié)論：設(shè)其中一根為t，則另一個(gè)根為2t，因此ax²+bx+c=a（x-t）（x-2t）=ax²-3atx+2t²a，所以有b²-$\frac{9}{2}$ac=0；我們記“K=b²-$\frac{9}{2}$ac”即K=0時(shí)，方程ax²+bx+c=0為倍根方程；下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：
（1）方程①x²-x-2=0；方程②x²-6x+8=0這兩個(gè)方程中，是倍根方程的是②（填序號(hào)即可）；
（2）若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，求4m²+5mn+n²的值；
（3）關(guān)于x的一元二次方程x²-$\sqrt{m}x+\frac{2}{3}$n=0（m≥0）是倍根方程，且點(diǎn)A（m，n）在一次函數(shù)y=3x-8的圖象上，求此倍根方程的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“倍根方程”的定義，找出方程①、②中K的值，由此即可得出結(jié)論；
（2）將方程（x-2）（mx+n）=0整理成一般式，再根據(jù)“倍根方程”的定義，找出K=0，整理后即可得出4m²+5mn+n²的值；
（3）根據(jù)方程x²-$\sqrt{m}x+\frac{2}{3}$n=0（m≥0）是倍根方程即可得出m、n之間的關(guān)系，再由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出m、n之間的關(guān)系，進(jìn)而即可求出m、n的值，此題得解．

解答 解：（1）在方程①x²-x-2=0中，K=（-1）²-$\frac{9}{2}$×1×（-2）=10≠1；
在方程②x²-6x+8=0中，K=（-6）²-$\frac{9}{2}$×1×8=0．
∴是倍根方程的是②x²-6x+8=0．
故答案為：②．
（2）整理（x-2）（mx+n）=0得：mx²+（n-2m）x-2n=0，
∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，
∴K=（n-2m）²-$\frac{9}{2}$m•（-2n）=0，
∴4m²+5mn+n²=0．
（3）∵${x^2}-\sqrt{m}x+\frac{2}{3}n=0$是倍根方程，
∴$K={（-\sqrt{m}）^2}-\frac{9}{2}×\frac{2}{3}n=0$，
整理得：m=3n．
∵A（m，n）在一次函數(shù)y=3x-8的圖象上，
∴n=3m-8，
∴n=1，m=3，
∴此方程的表達(dá)式為${x^2}-\sqrt{3}x+\frac{2}{3}=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握“倍根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．