Question

5．已知關于x的方程x²-mx-m-1=0（m為常數）．
（1）求證：方程有兩個實數根；
（2）設x₁，x₂是方程的兩個實數根，且2x₁-x₂=5，求m的值．

Answer 1

分析 （1）要證明方程有兩個不相等的實數根，只要證明判別式△=b²-4ac≥0即可；
（2）利用因式分解法求得一元二次方程的根，再代入2x₁-x₂=5得出m的方程，求得答案即可．

解答 （1）證明：∵b²-4ac=（-m）²-4×1×（-m-1）=m²+4m+4=（m+2）²≥0，
∴方程有兩個實數根；
（2）解：∵x²-mx-m-1=0，
∴（x-m-1）（x+1）=0，
解得：x₁=m+1，x₂=-1，
又∵2x₁-x₂=5，
∴2（m+1）+1=5或-2-（m+1）=5，
解得：m=1或m=-8．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．以及解一元二次方程的方法．