Question

5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，CD=8$\sqrt{2}$cm，BC=12cm，cos∠C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求AB和AD的長；
（2）如在線段BC、AD上有動點P、M，點P以每秒1cm的速度，從點B沿線段向點C運動；同時點M以相同的速度，從點D沿線段DA向點A運動，當點M到達點A時，兩點同時停止運動，過點P作AD的垂線，交線段BD于點F（點F不與點B、D重合）．設點P動的時間為t（秒），則在點P、M在邊BC、DA上移動過程中．
①當點P運動時間t為何值時，△BPF與△DMF相似；
②聯(lián)結PM，如果△PFM的面積為2cm，請求出點P的位置．（直接寫出結果，不需要過程）

Answer 1

分析 （1）過點D作DE⊥BC，垂足為E，先證明四邊形ABED是矩形，然后在Rt△DEC中，利用特殊銳角三角函數(shù)值求得DE、EC的長，從而可求得AB、AD的長；
（2）①由△BPF∽△DMF，得到∠BPF=∠DMF=90°，從而可知：點P、F、M在一條直線上；
②如圖3和圖4所示，先求得tan∠DBE=2，然后分別表示出PF和MN的長，然后根據三角形的面積公式列出關于x的方程，最后解得t的值，從而可求得點P的位置．

解答 解：（1）過點D作DE⊥BC，垂足為E．

∵AD∥BC，
∴∠ABC=∠BAD=90°．
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°．
∴∠ABC=∠BAD=∠DEB=90°．
∴四邊形ABED是矩形．
∴AB=DE，AD=BE．
∵在Rt△DEC中，∠C=45°，CD=8$\sqrt{2}$．
∴EC=DE=DC•sin45°=8$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=8．
∴AB=DE=8，AD=EB=BC-EC=12-8=4．
（2）①如圖2所示：

∵△BPF∽△DMF，
∴∠BPF=∠DMF=90°．
∵PF⊥AD，
∴點P、F、M在一條直線上．
設運動時間為t秒時，△BPF∽△DMF，則BP=t，DM=t．
∵DM=PE，
∴4-t=t．
解得：t=2．
②如圖3所示；過點D作DE⊥BC，垂足為E．

由（1）可知：DE=8，BE=4．
∵tan∠DBE=$\frac{DE}{BE}$=2．
∴PF=2BP=2t．
MN=AD-AN-MD=4-t-t=4-2t．
∴$\frac{1}{2}×2t×（4-2t）$=2．
解得：t=1．
∴BP=1．
如圖4所示，過點D作DE⊥BC，垂足為E．

由（1）可知：DE=8，BE=4．
∵tan∠DBE=$\frac{DE}{BE}$=2．
∴PF=2BP=2t．
MN=AN+MD-AD=2t-4．
∴$\frac{1}{2}×2t×（2t-4）$=2．
解得：${t}_{1}=1-\sqrt{2}$（舍去），t₂=1$+\sqrt{2}$．
∴PB=1$+\sqrt{2}$．
綜上所述，當BP=1或BP=1$+\sqrt{2}$時，△PFM的面積為2cm²．

點評 本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義、矩形的性質、相似三角形的性質、三角形的面積公式、解一元二次方程的應用，根據題意畫出符合題意得圖形是解題的關鍵．