Question

8．如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CP′B，連接PP′，則AP=1．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠APB=∠CP'B=135°、∠ABP=∠CBP'、BP=BP'、AP=CP'，由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP'是等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)∠CP'B=135°可得∠PP'C=90°，由此可利用勾股定理即可CP的值，則AP的長(zhǎng)也可求出．

解答 解：∵△BP'C是由△BPA旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，
∵∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，
∴△BPP'是等腰直角三角形，
∴∠BP'P=45°，
∵∠APB=∠CP'B=135°，
∴∠PP'C=90°，
∵BP=2，
∴PP′=$\sqrt{B{P}^{2}+BP{′}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵PC=3，
∴CP'=$\sqrt{P{C}^{2}-PP{′}^{2}}$=$\sqrt{9-8}$=1，
∴AP=CP′=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)、定理得△PP′C是直角三角形是解題關(guān)鍵．