Question

10．如圖，在△ABC和△BCE中，∠CBE=30°，∠BEC=90°，將△BEC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B₁，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E₁，設(shè)直線B₁E₁與直線BE交于點(diǎn)F，與直線CB交于點(diǎn)Q，當(dāng)△BPQ為等腰三角形時(shí)，α的大小是30°，75°或165°．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行探究，結(jié)論是：存在α（30°和75°），使△BPQ為等腰三角形．如答圖1、答圖2和圖3所示．

解答 解：存在α，使△BPQ為等腰三角形．
理由如下：經(jīng)探究，得△BPQ∽△B₁QC，
故當(dāng)△BPQ為等腰三角形時(shí)，△B₁QC也為等腰三角形．
（I）當(dāng)QB=QP時(shí)（如答圖1），

則QB₁=QC，∴∠B₁CQ=∠B₁=30°，
即∠BCB₁=30°，
∴α=30°；
（II）當(dāng)BQ=BP時(shí)，則B₁Q=B₁C，
若點(diǎn)Q在線段B₁E₁的延長(zhǎng)線上時(shí)（如答圖2），

∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=75°，
即∠BCB₁=75°，
∴α=75°；
若點(diǎn)Q在線段E₁B₁的延長(zhǎng)線上時(shí)（如答圖3），


∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=15°，
即∠BCB₁=180°-∠B₁CQ=180°-15°=165°，
∴α=165°．
綜上所述，存在α=30°，75°或165°，使△BPQ為等腰三角形．
故答案為：30°，75°或165°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及運(yùn)動(dòng)型與幾何變換綜合題，難度較大．對(duì)存在型問(wèn)題中，探究出符合題意的旋轉(zhuǎn)角，并且做到不重不漏，是解題難點(diǎn)．