Question

20．有一串?dāng)?shù)：1，2²，3³，4⁴，…，2004²⁰⁰⁴，2005²⁰⁰⁵，2006²⁰⁰⁶．大明從左往右依次計(jì)算前面1003個(gè)數(shù)的末位數(shù)字之和，并且記為a，小光計(jì)算余下的1003個(gè)數(shù)的末位數(shù)字之和，并且記為b，則a-b=（　　）

• A． -3
• B． 3
• C． -5
• D． 5

Answer 1

分析 設(shè)n為正整數(shù)，計(jì)算可知1ⁿ，5ⁿ，6ⁿ，10ⁿ的末位數(shù)字分別是1，5，6，0，2ⁿ的末位數(shù)字以2，4，8，6為循環(huán)，3ⁿ的末位數(shù)字以3，9，7，1為循環(huán)，4ⁿ的末位數(shù)字以4，6為循環(huán)，7ⁿ的末位數(shù)字以7，9，3，1為循環(huán)，8ⁿ的末位數(shù)字以8，4，2，6為循環(huán)，9ⁿ的末位數(shù)字以9，1為循環(huán)，因?yàn)?，2，4都是1000的約數(shù)，所以4⁴至1003¹⁰⁰³分別與1004¹⁰⁰⁴至2003²⁰⁰³的末位數(shù)字相同，可得a-b的值為1，2²，3³的末位數(shù)字之和減去2004²⁰⁰⁴，2005²⁰⁰⁵，2006²⁰⁰⁶的末位數(shù)字之和，依此即可求解．

解答 解：設(shè)n為正整數(shù)，計(jì)算可知1ⁿ，5ⁿ，6ⁿ，10ⁿ的末位數(shù)字分別是1，5，6，0，
2ⁿ的末位數(shù)字以2，4，8，6為循環(huán)，
3ⁿ的末位數(shù)字以3，9，7，1為循環(huán)，
4ⁿ的末位數(shù)字以4，6為循環(huán)，
7ⁿ的末位數(shù)字以7，9，3，1為循環(huán)，
8ⁿ的末位數(shù)字以8，4，2，6為循環(huán)，
9ⁿ的末位數(shù)字以9，1為循環(huán)，
因?yàn)?，2，4都是1000的約數(shù)，
所以4⁴至1003¹⁰⁰³分別與1004¹⁰⁰⁴至2003²⁰⁰³的末位數(shù)字相同，
所以a-b的值為1，2²，3³的末位數(shù)字之和減去2004²⁰⁰⁴，2005²⁰⁰⁵，2006²⁰⁰⁶的末位數(shù)字之和，
1，2²，3³的末位數(shù)字分別為1，4，7，
2004²⁰⁰⁴，2005²⁰⁰⁵，2006²⁰⁰⁶的末位數(shù)字分別為6，5，6，
所以a-b=1+4+7-（6+5+6）=-5．
故選：C．

點(diǎn)評 考查了尾數(shù)特征，是乘方的個(gè)位數(shù)字循環(huán)性問題，解決本題的關(guān)鍵是得到冪的末位數(shù)字之間的規(guī)律．