Question

20．在平行四邊形ABCD中，將△ABC沿AC對(duì)折，使點(diǎn)B落在B′處，AB′和CD相交
于點(diǎn)O．
（1）求證：OA=OC．
（2）過O點(diǎn)作OE⊥AC交AB于E點(diǎn)，連接CE，求證：四邊形OAEC是菱形．

Answer 1

分析 （1）由在平行四邊形ABCD中，將△ABC沿AC對(duì)折，使點(diǎn)B落在B′處，即可求得∠DCA=∠B′AC，則可證得OA=OC；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和三角形的三線合一的性質(zhì)得到AC與OE互相垂直平分即可證得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△AB′C是由△ABC沿AC對(duì)折得到的圖形，
∴∠BAC=∠B′AC，
∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠B′AC，
∴OA=OC；

（2）O點(diǎn)作OE⊥AC交AB于E點(diǎn)，連接CE，

∵∠BAC=∠B′AC，OE⊥AC，
∴AC垂直平分OE，
∵OA=OC，
∴OE垂直平分AC，
∴AC與OE互相垂直平分，
∴四邊形OCEA是菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．