Question

4．在△ABC中，O是BC上一點，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓分別與AC、AB相切于點C、點D，連接DE
（1）如圖1，求證：∠A=2∠BDE；
（2）如圖2，若AC=EC，求證：BD=2BE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DF∥AC，交⊙O于點F，交BC于點H，M是$\widehat{CF}$是一點，過點C作CG⊥FM交FM的延長線于點G，連接DM，若FM=$\frac{1}{3}$FG，BE=$\frac{5\sqrt{5}}{6}$，求DM的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，所以∠EOD=∠A，因為OD=OE，所以∠EDO=90°-$\frac{1}{2}$∠A，因為AB與⊙O相切，所以：∠A=2∠BDE；
（2）連接OD、CD，易證△BDE∽△BCD，所以BD²=BE•BC，又易證△BDO∽△BCA，可知BC=2BD，所以BD=2BE；
（3）連接CF、CM、OD，設(shè)FM=a則MG=2a，△DBE∽△CBE，求出EC，由∠CMG=∠FDC=∠CED=∠AOC，推出tan∠CMG=tan∠AOC=$\frac{QC}{OC}$=2，推出$\frac{CG}{MG}$=tan∠CMG=2，
推出CG=2MG=4a，CD=CF=5a，想辦法用a表示CE，求出a，再證明DM=CF=5a即可解決問題．

解答 解：（1）連接OD，如圖1，
∵⊙O分別與AC、AB相切于點C、點D，
∴∠ODA=∠OCA=90°，
∴∠DOE=∠A，
∵OD=OE，
∴∠EDO=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BDE+∠EDO=90°，
∴∠A=2∠BDE；

（2）連接OD、CD，如圖2，
由（1）可知：∠A=2∠BDE，
∵∠A=∠DOE
∠DOE=2∠DCE，
∴∠A=2∠DCE，
∴∠BDE=∠DCE，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCD，
∴BD²=BE•BC，
∵∠ODB=∠ACB=90°，
∴△BDO∽△BCA，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{OD}{AC}$，
∵AC=EC，
∴2OD=AC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴BC=2BD，
∴BD²=BE•2BD，
∴BD=2BE；

（3）連接CF、CM、OD，設(shè)FM=a則MG=2a，

∵BD=2BE，
∴BD=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
∵∠B=∠B，∠BDE=∠BCD，
∴△DBE∽△CBE，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，
∴BD²=BE•BC，
∴BC=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，
∴CE=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∵∠CMG=∠FDC=∠CED=∠AOC，
∴tan∠CMG=tan∠AOC=$\frac{QC}{OC}$=2，
∴$\frac{CG}{MG}$=tan∠CMG=2，
∴CG=2MG=4a，CD=CF=5a，
∵CH=2DH=4EH，CD=5a，
∴DH=$\sqrt{5}$a，CH=2$\sqrt{5}$a，EH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴DF=2DH=2$\sqrt{5}$a，
∵CM=$\sqrt{M{G}^{2}+C{G}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a=DF，
∴$\widehat{CM}$=$\widehat{CF}$，
∴DM=CF=CD=5a，
∵CE=CH+EH=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$a=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴a=1，
∴DM=5a=5．

點評 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線．構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．