Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OC，OB=OD，∠BAC=90°，以AB為直徑的⊙P交BC于點E，連接EO并延長交AD于點F．
（1）求證：OE是⊙P的切線；
（2）OA=OF．

Answer 1

分析 （1）連接PE、AE．依據(jù)直徑所對的圓周角是90°可得到∠AEB=90°，依據(jù)同角的余角相等可證明∠ABE=∠EAO，然后利用直角三角形斜邊上中線的性質可得到OA=OE，從而可證明∠OAE=∠OEA，于是可得到∠ABE=∠AEO，接下來再證明∠PEA+∠AEO=90°即可；
（2）先證明OA是⊙P的切線，依據(jù)切線長定理可得到OA=OE，接下來證明四邊形ABCD為平行四邊形，從而可得到AD∥BC，然后證明△DFO≌△BEO可得到OE=OF，通過等量代換可得到OA=OF．

解答 解：（1）如圖所示：連接PE、AE．

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠AEC=90°．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠ABE=∠EAO．
∵OA=OC，
∴OA=OE=$\frac{1}{2}$AC．
∴∠OAE=∠OEA．
∴∠ABE=∠AEO．
∵PE=PA，
∴∠PAE=∠PEA．
∴∠PEA+∠AEO=∠ABE+∠BAE=90°．
∴∠OEP=90°，
∴OE是⊙O的切線；
（2）∵點A在⊙P上，∠BAO=90°，
∴OA是⊙P的切線．
又∵OE為⊙P的切線，
∴OA=OE．
∵OA=OC，OB=OD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
∴AD∥BC．
∴∠FDO=∠EBO．
在△DFO和△BEO中$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠DOF}\\{∠FDO=∠EBO}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△DFO≌△BEO．
∴OE=OF．
∴OA=OF．

點評 本題考查了切線的判定，平行四邊形的性質和判定，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．