Question

20．△ABC中，AC=BC，點D，P分別在邊AB，AC上（點D不與點A，點B重合），DP∥BC，將△ADP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AEF．

（1）當(dāng)點E在BC上時，連接CF，
①如圖1，∠BAC=45°，線段CF，AB的位置關(guān)系是CF∥AB；
②如圖2，∠BAC=60°，此時CF，AB還滿足①中的位置關(guān)系嗎？若滿足，請證明你的結(jié)論；若不滿足，請說明理由；
（2）若∠BAC=β，AC=b，在△ADP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)過程中，點E第一次落在射線BC上時，連接CF，此時CF，AB還滿足（1）①中的位置關(guān)系嗎？若滿足，請證明你的結(jié)論，并直接寫出AD的取值范圍（用含β，b的式子表示），若不滿足，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{2}$且∠BAE=∠CAF，證△ABE∽△ACF得∠ACF=∠B=∠BAC=45°，即可得證；
（2）證△APD是等邊三角形，結(jié)合△AEF≌△ADP知∠1=∠2、AE=AF，再證△BAE≌△CAF可得∠B=∠3=60°，即可知∠3=∠BAC=60°，從而得證；
（3）分45°≤β＜90°和0＜β＜45°兩種情況，由$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$、∠BAE=∠CAF證△BAE∽△CAF可得，作AG⊥BC、CH⊥AB，由AB≤AD＜AG，解直角三角形可得AD范圍．

解答 解：（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=45°時，
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∵DP∥BC，
∴∠B=∠ADP=45°，
∴∠APD=90°，
∴△APD為等腰直角三角形，
由△ADP≌△AEF知△AEF為等腰直角三角形，∠APD=∠AFE=90°，∠DAP=∠EAF，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{2}$，且∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴∠ACF=∠B=∠BAC=45°，
∴CF∥AB，
故答案為：CF∥AB；

（2）滿足，
如圖2，

∵AB=AC，∠B=∠ACB=60°，
又∵DP∥BC，
∴∠APD=∠PDA=∠B=60°，
∴△APD是等邊三角形，
由旋轉(zhuǎn)知△AEF≌△ADP，∠1=∠2，
∴AE=AF，
在△BAE和△CAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠1=∠2}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF，
∴∠B=∠3=60°，
∴∠3=∠BAC=60°，
∴CF∥AB；

（3）滿足，
當(dāng)45°≤β＜90°時，
∵DP∥BC，
∴△ADP∽△ABC，
∵△ADP≌△AEF，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，
由（2）知∠BAE=∠CAF，
∴△BAE∽△CAF，
∴∠B=∠ACF，
∴∠BAC=∠ACF，
∴CF∥AB，
如圖3，過點A作AG⊥BC于點G，過點C作CH⊥AB于H

∵BC=AC、∠BAC=β，
∴∠ABC=∠BAC=β，AB=2AH，
∴∠ACG=180°-2β，
∴AG=ACsin∠ACG=bsin（180°-2β），
AB=2AH=2ACcos∠CAH=2bcosβ，
則bsin（180°-2β）≤AD＜2bcosβ；
當(dāng)0＜β＜45°，同理可證CF∥AB，
如圖4，過點A作AG⊥BC，交BC延長線于點G，過點C作CH⊥AB于H，

∵BC=AC、∠BAC=β，
∴∠ABC=∠BAC=β，AB=2AH，
∴∠ACG=2β，
∴AG=ACsin∠ACG=bsin2β，
AB=2AH=2ACcos∠CAH=2bcosβ，
則bsin2β≤AD＜2bcosβ．

點評 本題主要考查幾何變換的綜合題，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．