Question

3．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別為AB、DC的中點(diǎn)，對(duì)角線AC、BD分別交MN于E、F，求證：EF=$\frac{1}{2}$（BC-AD）．

Answer 1

分析 首先連接DF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，易證得△ADF≌△CGF（ASA），即可求得DF=GF，CG=AD，繼而可得EF是△DBG的中位線，則可推知結(jié)論．

解答 證明：連接DF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠GCF，
在△ADF和△GCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠GCF}\\{AF=CF}\\{∠AFD=∠CFG}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CGF（ASA），
∴DF=FG，CG=AD，
∴BG=BC-CG，
∵BE=DE，
∴EF=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$（BC-AD），即EF=$\frac{1}{2}$（BC-AD）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的中位線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．