Question

16．如圖，已知PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，B為⊙O上一點(diǎn)，∠AOB=120°，過點(diǎn)B作BC⊥PA于點(diǎn)C，BC交⊙O于點(diǎn)D，連接AB、AD．
（1）求證：OD平分∠AOB；
（2）若OA=2cm，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由于PA是⊙O的切線，且BC⊥PA，所以O(shè)A∥BC，由∠AOB=120°即可求出∠OBC=60°，從而可知∠AOD=∠BOD=60°
（2）由于點(diǎn)O和點(diǎn)A到BD的距離相等，△ABD的面積與△OBD的面積相同，從而可知陰影部分面積為扇形OBD的面積

解答 解：（1）∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∵BC⊥PA，
∴∠OAP=∠BCA=90°，
∴OA∥BC，
∴∠AOB+∠OBC=180°，
∵∠AOB=120°，
∴∠OBC=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOD=∠BOD=60°
∴OD平分∠AOB，

（2）∵OA∥BC，
∴點(diǎn)O和點(diǎn)A到BD的距離相等，
∴S_△ABD=S_△OBD，
∴S_陰影=S_扇形OBD，
∴S_陰影=$\frac{60π×4}{360}$=$\frac{2}{3}$π（cm²）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問題，涉及平行線的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合程度較高．