Question

6．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點，BC交⊙O于點E．
（1）若D為AC的中點，證明：DE是⊙O的切線；
（2）若OA=$\sqrt{3}$，CE=1，求∠ACB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD=DE，求得∠DAE=∠AED，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，等量代換得到∠DEO=90°，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)射影定理得到AB²=BE•BC，求得BE=3，（負值舍去），得到BC=4，根據(jù)三角函數(shù)的定義即刻得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEC=90°，
∵D為AC的中點，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED，
∵AC是⊙O的切線，
∴∠CAE+∠EAO=∠CAB=90°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DEA+∠OEA=90°，
∴∠DEO=90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）∵OA=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵∠CAB=90°，AE⊥BC，
∴AB²=BE•BC，
即（2$\sqrt{3}$）²=BE（BE+1），
∴BE=3，（負值舍去），
∴BC=4，
∵sin∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ACB=60°．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，射影定理，特殊角的三角函數(shù)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．