Question

20．閱讀解答：
（1）填空：2¹-2⁰=1=2^（0）
2²-2¹=2=2^（1）
2³-2²=4=2^（2）…
（2）探索（1）中式子的規(guī)律，試寫出第n個(gè)等式，并說明第n個(gè)等式成立；
（3）計(jì)算：2⁰+2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)冪的運(yùn)算方法，可得2¹-2⁰=2-1=1=2⁰，2²-2¹=4-2=2=2¹，2³-2²=8-4=4=2²，據(jù)此解答即可；
（2）根據(jù)（1）中式子的規(guī)律，可得2ⁿ-2^n-1=2^n-1；然后根據(jù)冪的運(yùn)算方法，證明第n個(gè)等式成立即可；
（3）設(shè)題中所給的表達(dá)式為s，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法求出2S的表達(dá)式，再把兩式相減即可求出原式S的值．

解答 解：（1）2¹-2⁰=2-1=1=2⁰，2²-2¹=4-2=2=2¹，2³-2²=8-4=4=2²，
故答案為：1，0，2，1，4，2；

（2）∵2¹-2⁰=2⁰，2²-2¹=2¹，2³-2²=2²，
∴2ⁿ-2^n-1=2^n-1；
證明：∵2ⁿ-2^n-1=2×2^n-1-2^n-1=2^n-1×（2-1）=2^n-1，
∴2ⁿ-2^n-1=2^n-1成立；

（3）設(shè)s=1+2+2²+…+2²⁰¹⁵ ①，
∴2s=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁶ ②，
由②-①：s=2²⁰¹⁶-1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問題，認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，注意觀察總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：2ⁿ-2^n-1=2^n-1成立．