Question

13．如圖，拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²+3x-4）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)O到AC的距離；
（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，以2為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線AC相切時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在線段AC上，點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上（點(diǎn)N不與點(diǎn)A重合），當(dāng)滿足條件∠OMN=90°的點(diǎn)M有且只有2個(gè)時(shí)，直接寫(xiě)出線段ON的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x=0，求出y的值，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用勾股定理列式求出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)△AOC的面積，列式求解即可得到點(diǎn)O到AC的距離；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)點(diǎn)O到AC的距離為2可知點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)O與AC平行的直線上，求出直線PO的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立消掉y，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
（3）如圖2中，當(dāng)與ON為直徑的圓與AC相切于M時(shí)，∠NMO=90°，設(shè)⊙k的半徑為r，由△AMK∽△AOC，得$\frac{AK}{AC}$=$\frac{KM}{OC}$，求出r，根據(jù)圖象即可判斷．

解答 解：（1）如圖1中，作OM⊥AC于M．
令y=0，則$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²+3x-4）=0，
整理得，x²+3x-4=0
解得x₁=1，x₂=-4，
所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），
令x=0，則y=-4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）；
∴OA=4，OC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
根據(jù)勾股定理得，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=$\frac{1}{2}$AC•OM，
∴$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$×OM，
∴OM=2，
所以，點(diǎn)O到AC的距離為2；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，0），C（0，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵點(diǎn)O到AC的距離為2，
∴點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)O與AC平行的直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}^{2}+3x-4）}\end{array}\right.$，
消掉未知數(shù)y整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2-2$\sqrt{2}$，x₂=-2+2$\sqrt{2}$，
所以，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：-2-2$\sqrt{2}$或-2+2$\sqrt{2}$，
將y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x向下平移-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$個(gè)單位得到直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，則直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$與直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$之間的距離也是2，點(diǎn)P在直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$上，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{8\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}^{2}+3x-4）}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-2，-2$\sqrt{3}$），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P橫坐標(biāo)為-2-2$\sqrt{2}$或-2+2$\sqrt{2}$或-2．

（3）如圖2中，當(dāng)與ON為直徑的圓與AC相切于M時(shí)，∠NMO=90°，設(shè)⊙k的半徑為r，
∵△AMK∽△AOC，
∴$\frac{AK}{AC}$=$\frac{KM}{OC}$，
∴$\frac{4-r}{\frac{8\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{r}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$，
∴r=$\frac{4}{3}$，
∴ON=2r=$\frac{8}{3}$，
由圖象可知，當(dāng)$\frac{8}{3}$＜ON＜4時(shí)，滿足條件∠OMN=90°的點(diǎn)M有且只有2個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積，圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．