Question

9．如圖①，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限，線段AC與x軸交于點(diǎn)D．將線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)并求出直線DE的解析式．
（2）如圖②，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AC從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)P作與x軸平行的直線PG，交直線DE于點(diǎn)G，求與△DPG的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量t的取值范圍．
（3）如圖③，設(shè)點(diǎn)F為直線DE上的點(diǎn)，連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FE以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E后停止．當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，是否存在點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)的定義結(jié)合題意可得B、D、E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線DE的解析式．
（2）分兩種情形①當(dāng)$0≤t≤\sqrt{2}$時(shí)，PD=$\sqrt{2}$-t，可得S=$\frac{1}{2}$PD²=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-t）²=$\frac{1}{2}$t²-$\sqrt{2}$t+1．②當(dāng)$\sqrt{2}＜t≤4\sqrt{2}$時(shí)，同法可求．
（3）過(guò)點(diǎn)E作EK∥x軸交y軸于H，則∠KEF=∠EDO=45°．過(guò)點(diǎn)F作FG⊥EK于點(diǎn)G，則FG=EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+EF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，推出t=AF+FG，即運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于折線AF+FG的長(zhǎng)度，由垂線段最短可知，折線AF+FG的長(zhǎng)度的最小值為EK與線段AB之間的垂線段．則t_最小=AH，直線DE與y軸的交點(diǎn)即為所求之F點(diǎn)．

解答 解：（1）如圖①中，由題意得：B（4，-1），D（1，0）．E（-2，3）．

設(shè)直線DE為y=kx+b（k≠0）
把D（1，0）．E（-2，3）代入得$\left\{{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{3=-2k+b}\end{array}}\right.$
解之得：$\left\{{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}}\right.$
∴直線DE為：y=-x+1．

（2）在Rt△ABC中，由BA=BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
由AP=t  （0≤t≤4$\sqrt{2}$），
同理可得：AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由題意可知：ED⊥AC，∠DPG=∠DAB=45°
∴△DPG為等腰直角三角形
S=$\frac{1}{2}$DP²，
如圖②中，

①當(dāng)$0≤t≤\sqrt{2}$時(shí)，PD=$\sqrt{2}$-t，
∴S=$\frac{1}{2}$PD²=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$-t）²=$\frac{1}{2}$t²-$\sqrt{2}$t+1．

②當(dāng)$\sqrt{2}＜t≤4\sqrt{2}$時(shí)，易得DP=t-$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$PD²=$\frac{1}{2}$（t-$\sqrt{2}$）²=$\frac{1}{2}$t²-$\sqrt{2}$t+1．
綜上：S=$\frac{1}{2}$t²-$\sqrt{2}$t+1．（0≤t$≤4\sqrt{2}$）

（3）如圖③，易得∠EDO=45°．

過(guò)點(diǎn)E作EK∥x軸交y軸于H，則∠KEF=∠EDO=45°．
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥EK于點(diǎn)G，則FG=EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，
由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+EF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，
∴t=AF+FG，即運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于折線AF+FG的長(zhǎng)度，
由垂線段最短可知，折線AF+FG的長(zhǎng)度的最小值為EK與線段AB之間的垂線段．
則t_最小=AH，直線DE與y軸的交點(diǎn)即為所求之F點(diǎn)，
∵直線DE解析式為：y=-x+1
∴F（0，1），
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F（0，1）坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、三角形的面積、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．