Question

17．如圖，已知△ABC．按如下步驟作圖：①以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)��；②以C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D；③連結(jié)BD，與AC交于點(diǎn)E，連結(jié)AD，CD．
（1）求證：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，AB=4，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)公共邊與已知構(gòu)成SSS可以證明兩三角形全等；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明△AEB是直角三角形，利用直角三角形30°角的性質(zhì)得：BE=$\frac{1}{2}$AB=2．

解答 證明：在△ABC與△ADC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAE=∠DAE，
又∵AB=AD，
∴AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AED=90°，
∵∠BAC=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、直角三角形30°角的性質(zhì)，是常考題型，利用尺規(guī)作圖的方式給出已知，所以注意閱讀已知條件，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)，在證明兩三角形全等時(shí)，要注意找尋公共邊、公共角、對(duì)頂角等條件；遇到30°角時(shí)，要考慮直角三角形30°角的性質(zhì)的運(yùn)用．