Question

12．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），與y軸的交點(diǎn)為D（0，4），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3．
（1）確定函數(shù)的解析式；
（2）求出拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上求一點(diǎn)P，使得△PAB的面積為2．

Answer 1

分析 （1）先利用對(duì)稱性確定B點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-2）（x-4），然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；
（2）把（1）中的解析式配成頂點(diǎn)式即可得到頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P（t，$\frac{1}{2}$t²-3t+4），利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•2•|$\frac{1}{2}$t²-3t+4|=2，然后去絕對(duì)值得到關(guān)于t的兩個(gè)一元二次方程，分別解方程求出t的值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）（x-4），
把D（0，4）代入得a•（-2）•（-4）=4，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-2）（x-4）=$\frac{1}{2}$x²-3x+4；
（2）∵y=$\frac{1}{2}$x²-3x+4=$\frac{1}{2}$（x-3）²-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，-$\frac{1}{2}$）；
（3）設(shè)P（t，$\frac{1}{2}$t²-3t+4），
∵△PAB的面積為2，
∴$\frac{1}{2}$•2•|$\frac{1}{2}$t²-3t+4|=2，
當(dāng)$\frac{1}{2}$t²-3t+4=2時(shí)，解得t₁=3+$\sqrt{5}$，t₂=3-$\sqrt{5}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3+$\sqrt{5}$，2），（3-$\sqrt{5}$，2），
當(dāng)$\frac{1}{2}$t²-3t+4=-2時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（3+$\sqrt{5}$，2），（3-$\sqrt{5}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．也考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．