Question

4．如圖，AC為一條直線，O是AC上一點，∠AOB=120°，OE、OF分別平分∠AOB和∠BOC．
（1）求∠EOF的大小；
（2）當(dāng)OB繞O旋轉(zhuǎn)時，OE，OF仍為∠AOB和∠BOC的平分線，問：OE，OF有怎樣的位置關(guān)系？你能否用一句話概括出這個結(jié)論？

Answer 1

分析 （1）先由點O是AC上一點，得出∠AOB+∠BOC=∠AOC=180°，再由OE，OF分別平分∠AOB，∠BOC，根據(jù)角平分線定義得出∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOC，那么∠EOF=∠BOE+∠BOF=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=90°；
（2）當(dāng)OB繞O點旋轉(zhuǎn)時，若OE，OF仍為∠AOB和∠BOC的平分線，仍然可以得到∠EOF=90°，根據(jù)垂直的定義得出OE⊥OF．

解答 解：（1）∵點O是AC上一點，
∴∠AOB+∠BOC=∠AOC=180°，
∵OE，OF分別平分∠AOB，∠BOC，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF
=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠BOC
=$\frac{1}{2}$∠AOC
=90°；
（2）當(dāng)OB繞O旋轉(zhuǎn)時，
∵點O是AC上一點，
∴∠AOB+∠BOC=∠AOC=180°，
∵OE，OF分別平分∠AOB，∠BOC，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF
=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠BOC
=$\frac{1}{2}$∠AOC
=90°，
∴OE⊥OF．
由此得到：鄰補角的兩角的平分線互相垂直．

點評 此題綜合考查角平分線，余角，要記住互為余角的兩個角的和為90度．同時考查了垂直的判定．