Question

18．已知，在△ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，且AD=AC，BE=BC．
①當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，如圖1，求∠DCE的度數(shù)？
②當(dāng)∠ACB=α?xí)r，如圖2，則∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$α；
③在①的條件下，CE=CD，M為∠DCE內(nèi)部射線上一點(diǎn)，如圖3，當(dāng)點(diǎn)M關(guān)于CE，CD對稱點(diǎn)均在直線ED上時(shí)，判斷此時(shí)△EDM的形狀，請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出，∠ACD=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），∠BCE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）進(jìn)而得出90°+$\frac{1}{2}$∠ACB-∠DCE=∠ACB即：∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB=45°；
（2）同（1）的方法得出結(jié)論即可；
（3）先利用對稱性得出CP=CQ，∠PCE+∠QCD=45°，由于點(diǎn)M關(guān)于CE，CD對稱點(diǎn)均在直線ED上，即可得出∠CPQ=∠CQP=45°，進(jìn)而判斷出△CPE≌△CQD即可得出CM是DE的垂直平分線上即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
∠BCE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）
∴∠ACD+∠BCE-∠DCE=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）-∠DCE=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）-∠DCE=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB-∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB=45°．
（2）∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
∠BCE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）
∴∠ACD+∠BCE-∠DCE=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）-∠DCE=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）-∠DCE=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB-∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}α$．
（3）△EDM等腰三角形，
理由：如圖3，作出點(diǎn)M關(guān)于CE的對稱點(diǎn)P，
∴∠PCE=∠MCE，CP=CM．
作出點(diǎn)M關(guān)于CD的對稱點(diǎn)Q，
∴∠QCD=∠MCD，CQ=CM，
∴CP=CQ，
由（1）知，∠DCE=45°，
∴∠PCE+∠QCD=∠MCE+∠MCD=45°，
∴∠PCQ=∠PCE+∠DCE+∠QCD=90°，
∵點(diǎn)M關(guān)于CE，CD對稱點(diǎn)均在直線ED上，
∴∠CPQ=∠CQP=45°，
∴點(diǎn)P，E，D，Q在同一條直線上，
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∴∠CEP=∠CDQ，
在△CPE和△CQD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CPQ=∠CQP=45°}\\{∠CEP=∠CDQ}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△CPE≌△CQD，
∴∠PCE=∠QCD，
∴∠PCE=∠MCE=∠DCM=∠QCD，
∴∠ECM=∠DCM，
∵CE=CD，
∴CM垂直平分ED，
∴ME=MD，
∴△MDE是等腰三角形．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，對稱的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是得出∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，判定△CPE≌△CQD，是解本題的難點(diǎn)．