Question

6．如圖1，直線y=2kx+6k（k＞0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點．
（1）當k=1時，求△AOB的面積；
（2）當OA=OB時，如圖2，Q為AB延長線上一點，作直線OQ，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若BN=2，求MN的長；
（3）當k取不同的值時，點B在y軸正半軸上運動，分別以O(shè)B、AB為邊，點B為直角頂點在第一、二象限內(nèi)作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸于P點，如圖3，當點B在y軸正半軸上運動時，求△BPE的面積S與k的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）由k=1代入直線l解析式中，求出k，即可得出點A，B坐標，從求出結(jié)論；
（2）由OA=OB，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用對應(yīng)線段相等求長度OM，再用勾股定理求出ON即可；
（3）作EG⊥y軸于K點，利用AAS得到△AOB≌△BGE，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到OA=BG，EG=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PGE，尋找相等線段，并進行轉(zhuǎn)化，求PB的長，最后用面積公式即可．

解答 解：（1）當k=1時，直線AB解析式為y=2x+6，
∴A（-3，0），B（0，6），
∴OA=3，OB=6，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$×3×6=9，
（2）∵OA=3，
∴OB=OA=3，
∵∠AOB=90°，
∵∠AOM+∠BON=90°，
∵AM⊥OQ，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠OAM=∠BON，
在△AOM和△BON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠ONB=90°}\\{∠OAM=∠BON}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BON，
∴OM=BN=2
，在Rt△BON中，ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴MN=OM+ON=2+$\sqrt{5}$
（3）如圖3，
∵直線y=2kx+6k，
∴B（0，6k），
∴OB=6k，
∵△OBF為等腰直角三角形，
∴BF=OB=6k，
作EG⊥y軸于G點，
∵△ABE為等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∴∠EBG+∠ABO=90°，
∵∠EBG+∠BEG=90°，
∴∠ABO=∠BEG，
在△AOB和△BKE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGE=∠AOB=90°}\\{∠ABO=∠BEG}\\{AB=BE}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△BGE（AAS），
∴OA=BG，EG=OB=6k，
∵△OBF為等腰直角三角形，
∴OB=BF，
∴EG=BF，
在△EGP和△FBP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EGP=∠PBF=90°}\\{∠GPE=∠BPF}\\{EG=BF}\end{array}\right.$
∴△PBF≌△PGE（AAS），
∴PG=PB，
∴PB=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，
∴S=S_△BPE+S_△BPF=$\frac{1}{2}$BP×EG+$\frac{1}{2}$BP×BF=$\frac{1}{2}$BP×（EG+BF）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（6k+6k）=15k．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判定△AOM≌△BON，難點是確定出PB的值．