Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-x+m與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象交于點(diǎn)A（1，3a），B（3，a）．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，3a），B（3，a）代入y=-x+m得出方程組，求出a和m的值，即可得出兩個(gè)函數(shù)解析式；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（3，-1），連接AB′交x軸于P，與待定系數(shù)法求出直線AP的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由梯形的面積減去兩個(gè)直角三角形的面積即可得出△PAB的面積．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（1，3a），B（3，a）代入y=-x+m得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+m=3a}\\{-3+m=a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{m=4}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為y=-x+4，A（1，3），B（3，1），
∴k=1×3=3，∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{x}$．
（2）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（3，-1），連接AB′交x軸于P，如圖所示，
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)A和點(diǎn)B′的坐標(biāo)代入得；$\left\{\begin{array}{l}{k+b=3}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線AP的解析式為y=-2x+5，
∵當(dāng)y=0時(shí)，x=2.5，
∴P（2.5，0），
作AM⊥x軸于M，如圖所示：
則△PAB的面積=$\frac{1}{2}$（3+1）×2-$\frac{1}{2}$×1.5×3-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1=1.5．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；熟練掌握待定系數(shù)法求直線解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．