Question

5．如圖，正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC，EH⊥AE，MN⊥BD，求證：EN=$\frac{1}{2}$BD．

Answer 1

分析 如圖，連接AC交BD于O．，作EK⊥AB于K．由△AEK≌△MEF，推出AE=EM，由△AOE≌△ENM，推出EN=OA，由此即可解決問(wèn)題．

解答 證明：如圖，連接AC交BD于O．，作EK⊥AB于K．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠ABD=∠CBD=45°，OA=OC=OB=OD，
∵EK⊥AB，EF⊥BC，
∴EK=EF，
∵∠EKB=∠KBF=∠BFE=90°，
∴四邊形EKBF是矩形，
∴∠KEF=∠AEM=90°，
∴∠AEK=∠MEF，∵∠EKA=∠EFM=90°，
∴△AEK≌△MEF，
∴AE=EM，
∵○EAO+∠AEO=90°，∠AEO+∠MEN=90°，
∴○EAO=∠MEN，∵∠AOE=∠MNE=90°，
∴△AOE≌△ENM，
∴EN=OA，
∵OA=$\frac{1}{2}$BD，
∴EN=$\frac{1}{2}$BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．