Question

14．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E在邊AB上，連接ED，過點(diǎn)D作FD⊥DE與BC的延長線相交于點(diǎn)F，連接EF與邊CD相交于點(diǎn)G，與對角線BD相交于點(diǎn)H．若BD=BF，求BE的長．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD正方形，BF=BD=6 $\sqrt{2}$，由DF⊥DE，易證得△ADE≌△CDF，即可求得BE的長；

解答 解：如圖，∵在正方形ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=6，
∴BD=6 $\sqrt{2}$．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{AD=DC}\\{∠A=∠DCF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF．
又∵BD=BF=6 $\sqrt{2}$，
∴AE=CF=BF-BC=6 $\sqrt{2}$-6，
∴BE=AB-AE=6-（6 $\sqrt{2}$-6）=12-6 $\sqrt{2}$，即BE的長為12-6 $\sqrt{2}$；

點(diǎn)評 此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．