Question

17．在菱形ABCD中，∠BAD=120°，△AEF等邊三角形，且點(diǎn)C在邊EF上，AE，AF分別交DC于點(diǎn)G，H．
（1）如圖1，連接AC，求證：①CG=DH；②△GCE∽△CAF．
（2）如圖2，連接BD，交AE，AF于點(diǎn)O，P，若∠BAG=45°，DP=3，OP=4，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)菱形的想知道的∠B=∠BAC=∠CAD=60°，推出△ABC與△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=AD，∠ACB=∠D=60°，得到∠GAC=∠DAH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=DH；②根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到∠DAO=75°，由菱形的性質(zhì)得到∠ADO=$\frac{1}{2}∠$ADC=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠B=∠BAC=∠CAD=60°，
∴△ABC與△ACD是等邊三角形，
∴AC=AD，∠ACB=∠D=60°，
∵△AEF是等邊三角形，
∴∠EAF=60°，
∴∠GAC=∠DAH，
在△ACG與△ADH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAC=∠HAD}\\{AC=AD}\\{∠ACG=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△ADH，
∴CG=DH；
②∵∠E=∠F=60°，
∵∠CGE=∠ACG+∠GAC=60°+∠GAC，
∠ACF=∠E+∠GAC=60°+∠GAC，
∴△GCE∽△CAF；

（2）∵∠BAG=45°，∠BAD=120°，
∴∠DAO=75°，
∵∠ADO=$\frac{1}{2}∠$ADC=30°，
∴∠AOD=75°，
∴∠DAO=∠AOD，
∴AD=OD=OP+DP=7，
∴AB=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．