Question

20．如圖，以AE為折痕折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，AF交BD于P點．
（1）求證：sin∠BAF=$\frac{BP}{PD}$；
（2）求證：PE⊥CD；
（3）在AD邊上截取DG，使DG=CF，連接GE交BD于H，試判斷△EFH的外接圓與CD的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）如圖1由四邊形ABCD是矩形，得到AD∥BF，△BPF∽△DPA，$\frac{PB}{PD}$=$\frac{BF}{AD}$，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：AF=AD，在R_t△ABF中，sin∠BAF=$\frac{BF}{AF}$，由等量代換得到sin∠BAF=$\frac{BP}{FD}$；
（2）如圖1，由折疊的性質(zhì)得：DE=EF，∠ADC=AFE=90°，得到∠AFB+∠EFC=90°，∠BAF=EFC，△ABF∽△FCE，$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CE}{EF}$，由（1）證得$\frac{PB}{PD}$=$\frac{BF}{AD}$，由等量代換得$\frac{PB}{PD}$=$\frac{CE}{DE}$，證得PE∥BC，由BC⊥CD，得到PE⊥CD；
（3））如圖2，根據(jù)∠BAD=∠ADC=90°，△ABF∽△FCE，得到$\frac{AB}{AF}$=$\frac{CF}{EF}$，由AF=AD，CF=DG，EF=DE，$\frac{AB}{AD}$=$\frac{DG}{DE}$，△ABD∽△DGE，得到∠1=∠3，再根據(jù)∠2+∠3=90°，得到∠1+∠2=90°，∠GHD=90°，∠PHE=90°，再根據(jù)∠PFE=90°，證得點P、F、E、H四點共圓，PH為圓的直徑，因為PE⊥CD，得到△EFH的外接圓與CD相切．

解答 解：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BF，
∴△BPF∽△DPA，
∴$\frac{PB}{PD}$=$\frac{BF}{AD}$，
由折疊的性質(zhì)得：AF=AD，
在R_t△ABF中，sin∠BAF=$\frac{BF}{AF}$，
∴sin∠BAF=$\frac{BP}{FD}$；

（2）如圖1，由折疊的性質(zhì)得：DE=EF，∠ADC=AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=EFC，
∴△ABF∽△FCE，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CE}{EF}$，
由（1）證得$\frac{PB}{PD}$=$\frac{BF}{AD}$，
∴$\frac{PB}{PD}$=$\frac{CE}{DE}$，
∴PE∥BC，
∵BC⊥CD，
∴PE⊥CD；

（3）如圖2，∵∠BAD=∠ADC=90°，
∵△ABF∽△FCE，
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{CF}{EF}$，
∵AF=AD，CF=DG，EF=DE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{DG}{DE}$，
∴△ABD∽△DGE，
∴∠1=∠3，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠GHD=90°，
∴∠PHE=90°，
∵∠PFE=90°，
∴點P、F、E、H四點共圓，
∴PH為圓的直徑，
∵PE⊥CD，
∴△EFH的外接圓與CD相切．

點評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，四點共圓，圓的性質(zhì)，圓與直線的位置關(guān)系．