Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（3，0），直線l與x軸正半軸夾角為30°，點B為直線l上的一個動點，延長AB至點C，使得AB=BC，過點C作CD⊥x軸于點D，交直線l于點F，過點A作AE∥l交直線CD于點E．
（1）若點B的橫坐標(biāo)為6，則點C的坐標(biāo)為（9，4$\sqrt{3}$），DE的長為2$\sqrt{3}$；
（2）若點B的橫坐標(biāo)大于3，則線段CF的長度是否發(fā)生改變？若不變，請求出線段CF的長度；若改變，請說明理由；
（3）連結(jié)BE，在點B的運動過程中，以O(shè)B為直徑的⊙P與△ABE某一邊所在的直線相切，請求出所有滿足條件的DE的長．

Answer 1

分析 （1）把x=6代入直線OB解析式求出y的值，確定出B坐標(biāo)，根據(jù)B為AC中點，求出C的坐標(biāo)，再由AE與OB平行確定出直線AE解析式，由CD垂直于x軸，得到E與C橫坐標(biāo)相同，把C橫坐標(biāo)代入直線AE解析式求出E的縱坐標(biāo)，即為DE的長；
（2）在點B的運動過程中，線段CF的長度不發(fā)生改變，設(shè)B橫坐標(biāo)為a，代入直線OB解析式表示出縱坐標(biāo)，根據(jù)B為AC中點，表示出C的坐標(biāo)，再由AE與OB平行確定出直線AE解析式，由CD垂直于x軸，得到E與C橫坐標(biāo)相同，把C橫坐標(biāo)代入直線AE解析式表示出E的縱坐標(biāo)，由CD-DE求出CE的長，根據(jù)F為CE中點，求出CF的長即可；
（3）分當(dāng)點D在點A的右側(cè)時、當(dāng)點D在線段OA上時和當(dāng)點D在點O的左側(cè)時三種情況分類討論即可．

解答 解：（1）∵直線l與x軸正半軸夾角為30°，
∴直線l的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
把x=6代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$得：y=2$\sqrt{3}$，
∵A（3，0），B（6，2$\sqrt{3}$），且B為AC中點，
∴C（9，4$\sqrt{3}$），
由AE∥OB，且直線OB解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，故設(shè)直線AE解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$+b，
把A（3，0）代入得：b=-$\sqrt{3}$，即直線AE解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$-$\sqrt{3}$，
由CD⊥x軸，得到C與E橫坐標(biāo)相同，
把x=9代入直線AE解析式得：y=2$\sqrt{3}$，
則DE=2$\sqrt{3}$；
故答案為：C（9，$4\sqrt{3}$），DE=$2\sqrt{3}$；      

（2）如圖（1），過點A作AM⊥x軸于M，
∴∠OAM=90°，∠BOA=30°，
∴AM=OAtan∠BOA=$\sqrt{3}$．
∵B為AC的中點，
∴AB=BC
又∵AM∥CF，
∴∠AMB=∠CFB，∠MAB=∠FCB
∴△ABM≌△CBF
∴CF=AM=$\sqrt{3}$．
∴線段CF的長度保持不變．   

（3）如圖1，過點B作BG⊥x軸于點G．
易證，OB=2BG，CD=2BG，
∴OB=CD．
（ I）當(dāng)點D在點A的右側(cè)時，⊙P只能與BE相切，如圖2
設(shè)DE=a，則OB=CD=$2\sqrt{3}+a$．
∵⊙P與BE相切于點B，
∴OB⊥BE．
易得BF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴OF=OB+BF=$\frac{5}{2}\sqrt{3}+a$．
∴OF=2DF，
∴$\frac{5}{2}\sqrt{3}+a$=$2（{\sqrt{3}+a}）$．
解得$a=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴DE=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．     
（ II）當(dāng)點D在線段OA上時，
①若⊙P與直線AE相切，如圖3，
易得，直線l與AE的距離是$\frac{3}{2}$．
∴OB=3．
∴CD=3．
∴DE=2CF-CD=$2\sqrt{3}-3$．    
②當(dāng)⊙P與AB相切，如圖4．
∴∠OBA=90°．
∴OB=OAtan∠OBA=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
∴CD=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$
∴DE=2CF-CD=$2\sqrt{3}-\frac{3}{2}\sqrt{3}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．    
（III）當(dāng)點D在點O的左側(cè)時，⊙P只能與直線AE相切，如圖5
∵直線l與AE的距離是$\frac{3}{2}$，
∴OB=3．
∴CD=3．
∴DE=2CF+CD=$2\sqrt{3}+3$．
綜上所述，DE的長為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$2\sqrt{3}-3$或$2\sqrt{3}+3$．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：兩直線平行時斜率滿足的關(guān)系，兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用了分類討論的思想，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．