Question

4．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，半徑R=$\sqrt{2}$+1，圓I過O，且與AB、AC相切，圓I的半徑r=1，求證：圓I是△ABC的內(nèi)切圓．

Answer 1

分析 作直線OI交⊙O于EF，延長AI交⊙O于M，連接MC，BC，連接OM交BC于K，連接OC，根據(jù)切線性質(zhì)得到AM平分∠BAC，設(shè)∠BAM=∠BCM=α，由三角函數(shù)的定義得到AI=$\frac{DI}{sinα}$，根據(jù)勾股定理得到CM=2（$\sqrt{2}$+1）sinα，求得IM=CM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠MIC=∠MCI，推出∠ACI=∠BCI，于是得到結(jié)論．

解答 解：作直線OI交⊙O于EF，延長AI交⊙O于M，連接MC，BC，連接OM交BC于K，連接OC，
∵⊙O與AB、AC相切，
∴AM平分∠BAC，
設(shè)∠BAM=∠BCM=α，
∴AI=$\frac{DI}{sinα}$，
∵AI•IM=EI•IF=（$\sqrt{2}$+1+1）$•\sqrt{2}$=2（$\sqrt{2}$+1），IM=2（$\sqrt{2}$+1）•sinα，
∵OM=OC=$\sqrt{2}$+1，KM=CM•sinα，KC=CM•cosα，
∵OK²+CK²=OC²，[（$\sqrt{2}$+1）-cm•sinα]²+CM²cos²α=（$\sqrt{2}$+1）²，（$\sqrt{2}$+1）²-2（$\sqrt{2}+$10•CM•sinα+CM²sin²α+CM²cos²α=（$\sqrt{2}$+1）²，
∵CM²sin²α+CM²cos²α=CM²，
∴CM=2（$\sqrt{2}$+1）sinα，
∴IM=CM，
∴∠MIC=∠MCI，
∴∠MAC+∠ACI=∠MCB+∠BCI，
∴∠ACI=∠BCI，
∴I是⊙I的內(nèi)心，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外切圓與外心，等腰三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．