Question

20．關(guān)于x的方程ax²+2（a-3）x+（a-2）=0至少有一個(gè)整數(shù)根，且a是整數(shù)，求a的值．

Answer 1

分析 當(dāng)a=0時(shí)化為一次方程求出x，當(dāng)a≠0 時(shí)，方程為一元二次方程，由△=4（9-4a）為完全平方數(shù)知9-4a為完全平方數(shù)，設(shè)9-4a=n²，則n為正奇數(shù)且n≠3，知a=$\frac{9-{n}^{2}}{4}$，代入求根公式后根據(jù)方程有整數(shù)根判斷即可．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，原方程為-6x-2=0，解得：x=-$\frac{1}{3}$，即原方程無(wú)整數(shù)解．
當(dāng)a≠0 時(shí)，方程為一元二次方程，它至少有一個(gè)整數(shù)根，
∴△=[2（a-3）]²-4a（a-2）=4（9-4a）為完全平方數(shù)，即9-4a為完全平方數(shù)，
設(shè)9-4a=n²，則n為正奇數(shù)，且n≠3 否則a=0，
所以a=$\frac{9-{n}^{2}}{4}$，
由求根公式得：x=$\frac{-2（a-3）±2n}{2a}$=-1+$\frac{3±n}{a}$=-1+$\frac{4（3±n）}{9-{n}^{2}}$，
所以x₁=-1+$\frac{4}{3+n}$，x₂=-1+$\frac{4}{3-n}$，
要使x₁為整數(shù)，而n為正奇數(shù)，只能n=1，從而a=2，
要使x₂為整數(shù)，n可取1，5，7，從而a=2，-4，-10，
綜上所述，a的值為2，-4，-10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式與求根公式是解題的關(guān)鍵．