Question

6．過正方形ABCD的頂點A任作一條直線l（l不過點B，C，D），過點B，C，D作l的垂線段BF，CG，DH．
（1）如圖1，若直線l過線段BC的中點E，則BF：CG：DH=1：1：2．
（2）如圖2，若直線l與線段BC相交于點E，則BF，CG，DH滿足等量關(guān)系式DH=BF+CG，請證明你的猜想；
（3）如果直線l與線段CB的延長線相交，直接寫出BF，CG，DH滿足的等量關(guān)系式BF=DH+CG，在直線l旋轉(zhuǎn)一周的過程中（l不過點B，C，D），直接寫出y=$\frac{BF+CG+DH}{BD}$的取值范圍1＜y≤2．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示：設(shè)AB=2a，根據(jù)題意得：BE=a，由勾股定理可求得AE=$\sqrt{5}$a，由面積法可求得BF和HD的長度，然后再證明△BFE≌△CGE，得到BF=CG，從而可求得答案；
（2）如圖2所示：先根據(jù)同角的余角相等，證明∠ADH=∠FBE=∠GCE，由銳角三角函數(shù)的定義可得到$\frac{DH}{AD}=\frac{BF}{BE}=\frac{CG}{EC}$，然后利用比例的性質(zhì)對比例式進行變形可證得：$\frac{DH}{AD}=\frac{BF+CG}{BC}$，由AD=BC，于是可得到DH=BF+CG；
（3）如圖3所示：先證明∠ABF=∠HDE=∠GCE，由銳角三角函數(shù)的定義可得到$\frac{BF}{AB}=\frac{HD}{DE}=\frac{CG}{EC}$，然后利用比例的性質(zhì)對比例式進行變形可證得$\frac{BF}{AB}=\frac{DH+CG}{DC}$，由AB=DC于是得到BF=DH+CG；如圖4、5所示可求得BF+CG+DH的最大值為2BD，最小值為BD，從而可求得y的范圍．

解答 解：（1）如圖1所示：連接ED．

設(shè)AB=2a，根據(jù)題意得：BE=a．
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}=\sqrt{5}a$，
∵$\frac{1}{2}AB•BE=\frac{1}{2}AE•BF$，即：$\frac{1}{2}×2a×2=\frac{1}{2}×\sqrt{5}a×BF$，
∴BF=$\frac{2\sqrt{5}a}{5}$．
在△BFE和△CGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFE=∠CGE}\\{∠FEB=∠GCE}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF=CG．
∵$\frac{1}{2}AD•AB=\frac{1}{2}AE•DH$，即$\frac{1}{2}×2a×2a=\frac{1}{2}×\sqrt{5}a×DH$，
∴HD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴BF：CG：DH=1：1：2．
（2）DH=BF+CG．
理由：如圖2所示：

∵∠ADH+∠DAH=90°，∠BAH+∠DAH=90°，
∴∠ADH=∠BAH．
同理∠FBE=∠BAH．
∴∠ADH=∠FBE．
∵BF⊥AE，GC⊥AE，
∴BF∥GC．
∴∠FBE=∠GCE．
∴∠ADH=∠FBE=∠GCE．
∴$\frac{DH}{AD}=\frac{BF}{BE}=\frac{CG}{EC}$．
由$\frac{BF}{BE}=\frac{CG}{EC}$可知：$\frac{BF}{CG}=\frac{BE}{EC}$，
∴$\frac{BF+CG}{CG}=\frac{BE+EC}{EC}$，即$\frac{BF+CG}{CG}=\frac{BC}{EC}$．
∴$\frac{CG}{EC}=\frac{BF+CG}{BC}$．
∴$\frac{DH}{AD}=\frac{BF+CG}{BC}$．
∵AD=BC，
∴DH=BF+CG．
（3）BF=DH+CG．
理由：如圖3所示：

根據(jù)題意可知：∠ABF=∠HDE=∠GCE．
∴$\frac{BF}{AB}=\frac{HD}{DE}=\frac{CG}{EC}$．
∴$\frac{DH}{CG}=\frac{DE}{EC}$．
∴$\frac{DH+CG}{CG}=\frac{DE+EC}{EC}$，即$\frac{DH+CG}{CG}=\frac{DC}{EC}$．
∴$\frac{DH+CG}{DC}=\frac{CG}{EC}$．
∴$\frac{BF}{AB}=\frac{DH+CG}{DC}$．
∵AB=DC，
∴BF=DH+CG．
如圖4所示：

當直線經(jīng)過點C時，BF+DH+CG有最小值，最小值=BD，
∴y=1．
如圖5所示：

BF+DH+CG有最大值，最小值=2AC=2BD，
∴y=2．
∵直線l不經(jīng)過點B、C、D，
∴y的取值范圍是：1＜y≤2．

點評 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、比例的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，利用比例的性質(zhì)對比例式進行適當?shù)淖冃问墙忸}的關(guān)鍵．