Question

17．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是弦，C是弧BD的中點，弦CE⊥AB，H是垂足，BD交CE，CA于點F，G．
（1）求證：CF=BF=GF；
（2）若CD=6，AC=8，求圓O的半徑和BD長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)C是弧BD的中點，可以確定∠A=∠DBC；再根據(jù)AB是⊙O的直徑，可知∠ACB=90°；據(jù)此即可確定∠A=∠DBC，即∠ECB=∠DBC，根據(jù)等角對等邊得出CF=BF，然后根據(jù)∠DBC+∠CGB=90°，∠ECB+∠GCF=90°得出∠CGB=∠GCF，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)C是弧BD的中點，得出BC=CD=6，根據(jù)勾股定理即可求得半徑，根據(jù)垂徑定理得出OC垂直平分BD，設(shè)OG=x，則CG=5-x，根據(jù)勾股定理得出5²-x²=6²-（5-x）²，求得OG，然后根據(jù)勾股定理求得BG，進而求得BD．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠A=∠ECB，
∵C是弧BD的中點，
∴∠A=∠DBC，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF，
∵∠DBC+∠CGB=90°，∠ECB+∠GCF=90°，
∴∠CGB=∠GCF，
∴CF=GF，
∴CF=BF=GF；
（2）解：∵C是弧BD的中點，
∴BC=CD=6，
∵AC=8，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∴圓O的半徑是5，
∵$\widehat{DC}$=$\widehat{BC}$，
∴OC垂直平分BD，
設(shè)OG=x，則CG=5-x，
∵BG²=OB²-OG²=BC²-CG²，
∴5²-x²=6²-（5-x）²，
解得x=1.4，
∴OG=1.4，
∴BG=$\sqrt{O{B}^{2}-O{G}^{2}}$=4.8，
∴BD=2BG=9.6．

點評 本題是綜合考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及等腰三角形的判定等；熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．