Question

11．拋物線y=a（x-h）²+k與x軸交于A（-1，0），B（7，0）兩點，給出以下判斷：
①若k=2，則拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{8}$（x-3）²+2
②當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而減小
③點P為拋物線上任意一點，使△ABP為等腰三角形的點P至少有3個
④點P為拋物線上任意一點，若使△ABP的面積為12的點P至少有三個，則拋物線的頂點縱坐標(biāo)k必須滿足k≥3．
其中正確的是①③（填序號）．

Answer 1

分析 ①先根據(jù)拋物線的對稱性，求得h=3，然后將k=2，和點A或點B的坐標(biāo)代入可求得拋物線的解析式；
②可分為a＞0和a＜0兩種情況；
③根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和拋物線的對稱性可判斷；
④根據(jù)a＞0和a＜0兩種情況討論即可．

解答 解：①由拋物線的對稱性可知：h=3，將k=2，A（-1，0）代入得：a×（4）²+2=0，
解得：a=$\frac{1}{8}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{8}$（x-3）²+2，故①正確；
②當(dāng)a＞0，x＞3時，y隨x的增大而增大；當(dāng)a＜0，x＞3時，y隨x的增大而減小，故②錯誤；
③當(dāng)AP=PB時，點P為拋物線的頂點，當(dāng)AP=AB時，點P在拋物線上；當(dāng)BP=BA時，點P也在拋物線，故③正確；
④當(dāng)a＞0，k≤-3時，使△ABP的面積為12的點P至少有三個；當(dāng)a＜0，k≥3時，使△ABP的面積為12的點P至少有三個，故④錯誤．
故答案為：①③．

點評 本題主要考查的是拋物線與x軸的交點問題，分類討論是解題的關(guān)鍵．