Question

4．如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，A、C、B三點在一條直線上，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N．
現(xiàn)有如下結(jié)論：①AM=DN；   ②EM=BN；   ③∠CAM=∠CDN；    ④∠CME=∠CNB．
（1）上述結(jié)論正確的有①②③④．
（2）選出一個你認為正確的結(jié)論，并證明這個結(jié)論．
你選的結(jié)論是：③．
證明：
∵△DAC和△EBC均是等邊三角形，
∴AC=CD，∠ACD=∠BCE=60°，CE=CB，
∵A、C、B三點在一條直線上，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{EC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAM=∠CDN，．

Answer 1

分析 （1）4個選項都正確；
（2）證明△ACE≌△DCB，得∠CAM=∠CDN，證明△ACM≌△DCN得：AM=DN，再證明△MCE≌△NCB（ASA），得EM=BN，∠CME=∠CNB．

解答 解：（1）上述結(jié)論正確的有：①②③④；
故答案為：①②③④；

（2）選③，
證明：∵△DAC和△EBC均是等邊三角形，
∴AC=CD，∠ACD=∠BCE=60°，CE=CB，
∵A、C、B三點在一條直線上，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAM=∠CDN，
所以③正確；
選①，
證明：在△ACM和△DCN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CDN}\\{AC=CD}\\{∠ACD=∠DCE=60°}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM=DN，
所以①正確；
選②，
證明：∵△ACE≌△DCB，
∴∠MEC=∠NBC，
在△MCE和△NCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠NCB}\\{EC=BC}\\{∠MEC=∠NBC}\end{array}\right.$，
∴△MCE≌△NCB（ASA），
∴EM=BN，∠CME=∠CNB．
所以②和④都正確．

點評 本題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)，是�？碱}型，此類題變化多樣，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵，利用等邊三角形的性質(zhì)得出三角形全等的條件即可得出結(jié)論．