Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，已知點(diǎn)A（3，0）、D（1，1）．點(diǎn)B、C在第一象限內(nèi)．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將正方形ABCD以每秒1個(gè)單位速度沿x軸向左平移（設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒）．若存在某一時(shí)刻t，使在第二象限內(nèi)點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′、D′正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請求出此時(shí)t的值以及這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的情況下．直線D′B′交y軸于點(diǎn)E．問是否存在x軸上的點(diǎn)P和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q．使得以P、Q、E、B′四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，BF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)ASA定理可得△ADG≌△BAF，故可得出點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先用t表示出平移后B′，D′的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出t的值，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式即可；
（3）先利用待定系數(shù)法求出直線B′D′的解析式，故可得出E點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)P（a，0），Q（x，-$\frac{6}{x}$），分B′E為對角線和邊兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）過點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，BF⊥x軸于點(diǎn)，
∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAG=∠ABF，∠ADG=∠BAF，
在△ADG與△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DAG=∠ABF\\ AD=AB\\∠ADG=∠BAF\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△BAF（ASA），
∴DG=AF=1，AG=BF=3-1=2，
∴B（4，2）；

（2）∵B（4，2），D（1，1），
∴t秒后B′（4-t，2），D′（1-t，1）．
∵設(shè)t秒后兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上，
∴2（4-t）=1-t，解得t=7，
∴B′（-3，2），D′（-6，1），
∴k=2×（-3）=-6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{6}{x}$；

（3）存在．
設(shè)直線B′D′的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵B′（-3，2），D′（-6，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}2=-3k+b\\ 1=-6k+b\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{3}\\ b=3\end{array}\right.$．
∴直線B′D′的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+3，
∴E（0，3）．
設(shè)P（a，0），Q（x，-$\frac{6}{x}$），
當(dāng)B′E為對角線時(shí)，$\frac{a+x}{2}$=$\frac{-3}{2}$，$\frac{-\frac{6}{x}}{2}$=$\frac{2+3}{2}$，解得a=-$\frac{9}{5}$，x=-$\frac{6}{5}$，
∴P（-$\frac{9}{5}$，0），Q（-$\frac{6}{5}$，5）．
當(dāng)B′E為邊時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-1，此時(shí)Q（-1，6），P（9，0）．
綜上所示，P（-$\frac{9}{5}$，0），Q（-$\frac{6}{5}$，5）或Q（-1，6），P（9，0）．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)等知識，在解答（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．