Question

4．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC，拋物線的頂點(diǎn)為P．

（1）求拋物線的解析式；
（2）聯(lián)結(jié)AC、PC、BC、PB，試判斷△AOC與△PCB是否相似？說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，在PH的右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M（點(diǎn)M與頂點(diǎn)P不重合），過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BP于點(diǎn)N，當(dāng)△MPN與△BPH相似時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC，可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式可以求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)第一問(wèn)中求出的A、B、C各點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出BP、CP、BC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理的逆定理可以得到△BCP野史直角三角形，對(duì)應(yīng)邊的比與△OAC的對(duì)應(yīng)邊的比相等，從而可以求得兩個(gè)三角形相似；
（3）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，再根據(jù)題意，可以分別表示出各邊之間的關(guān)系，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等，從而可以得到兩個(gè)方程，聯(lián)立方程組，從而可以求得點(diǎn)M的值．

解答 解：（1）∵OB=OC=3，B（-3，0），
∴C（0，3）．
設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a（x+3）（x-1），
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），
∴-3a=3．
解得a=-1．
∴拋物線的解析式為y=-（x+3）（x-1）=-x²-2x+3．
（2）△AOC與△PCB相似．
理由：如下圖一所示：

∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4），
∵OA=1，OC=3，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{1+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{（-1+3）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴BC²+PC²=PB²．
∴∠PCB=∠AOC=90°．
∴BC：OC=PC：OA．
∴△PCB∽△AOC．
（3）如下圖二所示：

當(dāng)△MPN與△BPH相似時(shí)．
則PH：MN=BH：NP，
∵PH：BH=2：1，
∴MN：NP=2：1．
∴MN²：MP²=4：5．
設(shè)M（x，y）．
∵B（-3，0），P（-1，4），設(shè)過(guò)點(diǎn)B、P的直線為：y=kx+b．
∴y=2x+6．
∴點(diǎn)M到直線BP的距離MN為：$\frac{|2x-y+6|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$．
則MN²=$\frac{（2x-y+6）^{2}}{5}$．
MP²=（x+1）²+（y-4）²
又∵y=-x²-2x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（2x-y+6）^{2}}{5}：[（x+1）^{2}+（y-4）^{2}]}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$=4：5
解得，x=$\frac{1}{3}$，y=$\frac{20}{9}$．
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法、三角形相似、點(diǎn)到直線的距離，解答本題的關(guān)鍵是可以根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，再根據(jù)題意靈活變化，建立等量關(guān)系，找出所求問(wèn)題的條件．