Question

12．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-1與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；
（2）連接CD，過(guò)原點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，連接AE，AD．求證：∠AED=∠DAB；
（3）以（2）中的點(diǎn)E為圓心，1.5為半徑畫圓，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作⊙E的切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)PQ的長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并寫出∠PAB的正切值．

Answer 1

分析 （1）令y=0，得到$\frac{1}{2}$（x-3）²-1=0，解方程即可求得A、B的坐標(biāo)，直接根據(jù)解析式的頂點(diǎn)式求得D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)D作DG⊥y軸，垂足為G，則G（0，-1），GD=3，求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，求得CG=$\frac{9}{2}$，通過(guò)證得△DCG∽△EOM對(duì)應(yīng)邊成比例求得EM=2，從而求得ED=3，E（3，2）然后，根據(jù)勾股定理的逆定理證得△AED是直角三角形，即可證得結(jié)論；
（3）根據(jù)勾股定理以及切線的性質(zhì)，由于半徑是定值可知：要使切線長(zhǎng)最小，只需EP長(zhǎng)最小，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{2}$（x-3）²-1），根據(jù)勾股定理求得EP²=（x-3）²+[$\frac{1}{2}$（x-3）²-1-2]²，設(shè)（x-3）²=z，利用換元法得出EP²=$\frac{1}{4}$（z-4）²+5，即當(dāng)（x-3）²=4時(shí)，EP²取得最小值為5．根據(jù)（x-3）²=4，求得x的值，進(jìn)而即可求得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）在y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-1中，令y=0，則$\frac{1}{2}$（x-3）²-1=0，解得：x₁=3-$\sqrt{2}$，x₂=3+$\sqrt{2}$，
∴A（3-$\sqrt{2}$，0），B（3+$\sqrt{2}$，0），
由拋物線的頂點(diǎn)式可知D（3，-1）；
（2）如圖1，過(guò)D作DG⊥y軸，垂足為G，則G（0，-1），GD=3，
∵拋物線y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-1與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，
∴把x=0代入得，y=$\frac{7}{2}$，
∴GC=$\frac{9}{2}$，
設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，
∵OE⊥CD，∠BOC=90°，
∴∠DCO=∠EOM，
∵∠OME=∠CGD=90°，
∴△DCG∽△EOM，
∴$\frac{CG}{OM}$=$\frac{DG}{EM}$，即$\frac{\frac{9}{2}}{3}$=$\frac{3}{EM}$，
∴EM=2，
∴ED=3，E（3，2），
∴AE²=（3-$\sqrt{2}$-3）²+2²=6，AD²=（3-$\sqrt{2}$-3）²+1²=3，ED²=3²=9，
∴AE²+AD²=ED²，
∴△AED是直角三角形，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵∠DAB+∠ADE=90°，
∴∠AED=∠DAB；
（3）如圖2，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{2}$（x-3）²-1），要使切線長(zhǎng)最小，只需EP長(zhǎng)最小，
∵E（3，2），
∴EP²=（x-3）²+[$\frac{1}{2}$（x-3）²-1-2]²，
設(shè)（x-3）²=z，
∴EP²=$\frac{1}{4}$（z-4）²+5，
∴當(dāng)（x-3）²=4時(shí)，EP²取得最小值為5．
∵（x-3）²=4，
∴x₁=5，x₂=1（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，1）；
∴tan∠PAB=$\frac{1}{5-（3-\sqrt{2}）}$=$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)以及函數(shù)的最值等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．