Question

19．如圖，AB為直徑，AB=4，C、D為圓上兩個動點，N為CD中點，CM⊥AB于M，當(dāng)C、D在圓上運(yùn)動時保持∠CMN=30°，則CD的長（　�。�

• A． 隨C、D的運(yùn)動位置而變化，且最大值為4
• B． 隨C、D的運(yùn)動位置而變化，且最小值為2
• C． 隨C、D的運(yùn)動位置長度保持不變，等于2
• D． 隨C、D的運(yùn)動位置而變化，沒有最值

Answer 1

分析 連接OC、ON、OD，由垂徑定理可知ON⊥CD，∠CON=∠DON，然后由∠ONC+∠CMO=180°，可證明O、N、C、M四點共圓，從而可得到∠NOC=∠NMC=30°，于是可證明△OCD為等邊三角形，從而得到CD=2．

解答 解；連接：OC、ON、OD．

∵N是CD的中點，
∴ON⊥CD，∠CON=∠DON．
又∵CM⊥AB，
∴∠ONC+∠CMO=180°．
∴O、N、C、M四點共圓．
∴∠NOC=∠NMC=30°．
∴∠COD=60°．
又∵OC=OD，
∴△OCD為等邊三角形．
∴CD=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$．
故選：C．

點評 本題主要考查的是軌跡問題，發(fā)現(xiàn)O、N、C、M四點共圓，從而證得△OCD為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．