Question

16．如圖1，已知矩形ABED，點(diǎn)C是邊DE的中點(diǎn)，且AB=2AD．
（1）由圖1通過(guò)觀察、猜想可以得到線段AC與線段BC的數(shù)量關(guān)系為AC=BC，位置關(guān)系為AC⊥BC
（2）保持圖1中的△ABC固定不變，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中的位置（當(dāng)垂線AD、BE在直線MN的同側(cè)）．試探究線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明（第一問(wèn)中得到的猜想結(jié)論可以直接在證明中使用）；
（3）保持圖2中的△ABC固定不變，繼續(xù)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置（當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)）．試探究線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有DE=BE-AD關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理，即可證得△ADC≌△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）通過(guò)證明△ACD≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可得線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間的關(guān)系；
（3）通過(guò)證明△ACD≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可得線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間的關(guān)系．

解答 解：（1）AC=BC，AC⊥BC，
在△ADC與△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠D=∠E=90°}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AC=BC，∠DCA=∠ECB．
∵AB=2AD=DE，DC=CE，
∴AD=DC，
∴∠DCA=45°，
∴∠ECB=45°，
∴∠ACB=180°-∠DCA-∠ECB=90°．
∴AC⊥BC，
故答案為：AC=BC，AC⊥BC；

（2）DE=AD+BE．理由如下：
∵∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，
在△ACD與△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠ADC=∠BEC=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，DC=EB．
∴DC+CE=BE+AD，
即DE=AD+BE．

（3）DE=BE-AD．理由如下：
∵∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，
在△ACD與△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠ADC=∠BEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，DC=EB．
∴DC-CE=BE-AD，
即DE=BE-AD，
故答案為：DE=BE-AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．