Question

9．已知正方形ABCD的邊長為1，對角線AC，BD交于點O，E為AB的中點，DE與AC交于點M，CE交BD于點N，則四邊形OMEN的內(nèi)切圓的半徑等于$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 利用面積轉(zhuǎn)化S=r$•\frac{c}{2}$，由相似可得AM=$\frac{AC}{3}$，ME=$\frac{DE}{3}$，利用勾股定理可得AC，DE的長，從而得出四邊形MENO的周長，由OM與OA的比例關(guān)系，易得△AOE的面積與△OME的面積比，可得△OME的面積，得四邊形MENO的面積，根據(jù)周長與面積的關(guān)系得r．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，E為AB的中點，
∴AB∥CD，
∴△AME∽△CMD，
∵E為AB的中點，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{AM}{CM}=\frac{ME}{MD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}$，$\frac{ME}{DE}=\frac{1}{3}$，
∵AD=DC=1，
∴AE=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AC=$\sqrt{2}$，
∴ME=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，AM=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴MO=AO-AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴四邊形MENO的周長為：2×（$\frac{\sqrt{5}}{6}+\frac{\sqrt{2}}{6}$）=$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$，
∵S_{四邊形MENO}=2S_△MEO，
∵$\frac{{S}_{△MEO}}{{S}_{△AEO}}$=$\frac{OM}{OA}$=$\frac{1}{3}$，S_△AEO=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
∴S_△MEO=$\frac{1}{24}$，
∴S_{四邊形MENO}=$\frac{1}{12}$，
∴r=$\frac{1}{12}÷$（$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{6}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題主要考查了多邊形與其內(nèi)切圓的關(guān)系，利用面積與周長的關(guān)系解得內(nèi)切圓的半徑是解答此題的關(guān)鍵．