Question

4．如圖，已知點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…A_n，…是x軸上的點(diǎn)，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…A_n-1A_n…=1，分別過點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…A_n，…作x軸的垂線交反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象于點(diǎn)B₁，B₂，B₃，B_n，…，過點(diǎn)B₂作B₂P₁⊥A₁B₁于點(diǎn)P₁，過點(diǎn)B₃作B₃P₂⊥A₂B₂于點(diǎn)P₂…，記△B₁P₁B₂的面積為S₁，△B₂P₂B₃的面積為S₂…，△B_nP_nB_n+1的面積為S_n，則S₁+S₂+S₂+…+S₂₀₁₅=$\frac{2015}{4032}$．

Answer 1

分析 由OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1可知B₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，y₁），B₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，y₂），B₃點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，y₃）…B_n點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，y_n），把x=1，x=2，x=3代入反比例函數(shù)的解析式即可求出y₁、y₂、y₃的值，再由三角形的面積公式可得出S₁、S₂、S₃…S_n的值，故可得出結(jié)論．

解答 解：∵OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，
∴設(shè)B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…B_n（n，y_n），
∵B₁，B₂，B₃…Bn在反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴y₁=1，y₂=$\frac{1}{2}$，y₃=$\frac{1}{3}$…y_n=$\frac{1}{n}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×1×（y₁-y₂）=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$），
s₂=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$），
S₃=$\frac{1}{2}$×1×（y₃-y₄）=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）；
…s₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
∴S₁+S₂+S₃+…+s₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$-…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{2015}{4032}$．
故答案為：$\frac{2015}{4032}$．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．