Question

7．已知拋物線y=x²，B（2，m），點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，AB交拋物線于點(diǎn)C
（1）若A（-2，0），求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若A為動(dòng)點(diǎn)，BF⊥x軸于F，交直線CO于D點(diǎn)，求AF•（BF-FD）；
（3）在（2）的條件下，若A點(diǎn)在x正半軸上，其他條件不變，問$\frac{{S}_{△BAO}}{{S}_{△DAF}}$的值是否變化，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式，聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）可設(shè)C（t，t²），過C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，作CN⊥BF于點(diǎn)N，則可得△OCH∽△ODF和△BCN∽△ABF，利用相似三角形的性質(zhì)可用t表示出AF、DF，代入可求得答案；
（3）用t可表示出直線OC和AB的解析式，可表示出A、D的坐標(biāo)，則可分別表示出△AOB和△DAF的面積，可求得答案．

解答 解：
（1）∵點(diǎn)B在拋物線y=x²上，
∴m=2²=4，
∴B（2，4），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=x+2，
聯(lián)立直線AB與拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴C（-1，1）；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于H，作CN⊥BF于N，如圖1，

設(shè)C（t，t²），則CH=t²，HO=-m，OF=2，BF=4，BN=4-t²，CN=2-t，
∵CH∥BD，
∴△OCH∽△ODF，
∴$\frac{CH}{DF}$=$\frac{OH}{OF}$，即$\frac{{t}^{2}}{DF}$=$\frac{-t}{2}$，
∴DF=-2t，
同理△BCN∽△BAF，
∴$\frac{BN}{BF}$=$\frac{CN}{AF}$，即$\frac{4-{t}^{2}}{4}$=$\frac{2-t}{AF}$，
∴AF=$\frac{4}{2+t}$，
∴AF•（BF-FD）=$\frac{4}{2+t}$×（4+2t）=8；

（3）不變化，理由如下：
設(shè)直線BC的解析式為y=k′x+b′，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k′+b′=4}\\{tk′+b′={t}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=t+2}\\{b′=-2t}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=（t+2）x-2t，當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{2t}{t+2}$，
∴OA=$\frac{2t}{t+2}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•BF=$\frac{1}{2}$×$\frac{2t}{t+2}$×4=$\frac{4t}{t+2}$，
設(shè)直線OC的解析式為y=sx，
∴t²=ts，解得s=t，
∴直線OC的解析式為y=tx，令x=2可得y=2t，
∴D（2，2t），
∴AF=OF-OA=2-$\frac{2t}{t+2}$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$AF•DF=$\frac{1}{2}$×（2-$\frac{2t}{t+2}$）×2t=$\frac{4t}{t+2}$，
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ADF}}$=1，
即$\frac{{S}_{△BAO}}{{S}_{△DAF}}$的值是不變化的．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積及方程思想等知識(shí)．在（1）中求得直線AB的解析式是解題的關(guān)鍵，在（2）中分別用C點(diǎn)的坐標(biāo)表示出AF、BF和FD的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中用C點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示出兩三角形的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．