Question

19．如圖，四邊形ABCD中，∠BCD是鈍角，AB=AD，BD平分∠ABC．若CD=3，BD=2$\sqrt{6}$，sin∠DBC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求BC的長；
（2）求證：△BCD≌△BAD；
（3）求對角線AC的長．

Answer 1

分析 （1）過D作DE⊥BC交BC的延長線于E，得到∠E=90°，根據(jù)三角形函數(shù)的定義得到DE=2$\sqrt{2}$即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=$\sqrt{6}$，根據(jù)勾股定理得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，過D作DE⊥BC交BC的延長線于E，
則∠E=90°，
∵sin∠DBC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BD=2$\sqrt{6}$，
∴DE=2$\sqrt{2}$，
∵CD=3，
∴CE=1，BE=4，
∴BC=3，

（2）∵BC=3，CD=3
∴BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB，
∵BD=BD，
∴△BCD≌△BAD；

（3）由（2）知，∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
同理AD∥BC，
∴四邊形ABCD是菱形，
連接AC交BD于O，
則AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=$\sqrt{6}$，
∴OC=$\sqrt{B{C}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了角平分線定理，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．